初二数学奥数竞赛题（初二的数学奥数题）
初二数学奥数竞赛题（初二的数学奥数题）
题1:某地生产一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元;经粗加工后每吨利润可达4500元;经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家农工商公司收获这种蔬菜140t，该公司的加工能力是:如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t;如进行精加工，每天可加工6t，但两种加工方式不可同时进行，受季节条件限制，公司必须在十五天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕。为此，公司制定了三种方案: 方案一:将蔬菜全部进行粗加工; 方案二:尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜直接在市场上销售; 方案三:将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。 采用这三种方案加工蔬菜，各能获利多少?选择哪种方案获利最多? 问题2:有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3公顷或乙种蔬菜2公顷，已知甲种蔬菜每公顷可收入0.5万元，乙种蔬菜每公顷可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多安排多少人种甲种蔬菜? 问题3:在一条直线上任取一点A，截取AB=12cm，再截取AC=38cm，DE分别是AB、AC的中点，求D、E两点之间的距离。 1、方案一: 15*16=250140 可以全部粗加工 利润=4500*140=630，000 方案二: 6*15=90140 利润=7500*90+1000*(140-90)=725，000 方案三: 设粗加工X天，则精加工15-X天 则有16X+6(15-X)=140 则X=5 利润=16*5*4500+6*10*7500=810，000 所以第三个方案好，获利多。 2.设X人种甲，则10-X人种乙 所以有 X*3*0.5+(10-X)*2*0.815.6 1.5X+16-1.6X15.6 0.40.1X 所以最多三人种甲 3.如B、C在A的同侧，则有 38/2-12/2=19-6=13cm 如B、C在A的异侧，则有 38/2+12/2=19+6=25cm 商店搞促销活动，买5盒赠1盒，买30盒多少钱〈一盒2.60元〉{ 华美洗发水买一瓶30元，买五瓶赠一瓶， 买八瓶赠二瓶，买五瓶赠一瓶，平均每瓶多少元?妈妈和同事们合伙买12瓶，怎样买合算???? 某工厂制定了2011年的生产计划，现有如下数据:(1)工人400人(2)每人年工时1100时。预测年销量80000-100000箱，每箱生产2时，用料10千克，目前存量300吨，年底可补充900吨，根据数据确定年产量及工人数 解: 1.此工厂可以利用的工时资源有:400X1100=440000小时 2.可以利用的材料资源有300+900=1200吨=1200000千克 3.预测年销量80000-100000箱所需的 (1)工时:160000-200000时，需要的工人数:146-182人 (2)材料:800000-1000000千克 所以，可按最大预测年销量生产100000箱。 答:可确定年产量100000箱，工人数182人。 例1 :货轮上卸下若干只箱子，总重量为10吨，每只箱子的重量不超过1吨，为了保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3吨的汽车? [分析与解] 因为每一只箱子的重量不超过1吨，所以每一辆汽车可运走的箱子重量不会少于2吨，否则可以再放一只箱子。所以，5辆汽车本是足够的，但是4辆汽车并不一定能把箱子全部运走。例如，设有13只箱子，，所以每辆汽车只能运走3只箱子，13只箱子用4辆汽车一次运不走。 因此，为了保证能一次把箱子全部运走，至少需要5辆汽车。 例2: 用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根?怎样截法最合算? [分析与解] 一个10尺长的竹竿应有三种截法: (1) 3尺两根和4尺一根，最省; (2) 3尺三根，余一尺; (3) 4尺两根，余2尺。 为了省材料，尽量使用方法(1)，这样50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿，还差50根4尺的，最好选择方法(3)，这样所需原材料最少，只需25根即可，这样，至少需用去原材料75根。 例3: 一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数，而且是三个连续偶数，它们个位数字的和是7的倍数，这个三角形的周长最长应是多少厘米? [分析与解] 因为三角形三边是三个连续偶数，所以它们的个位数字只能是0，2，4，6，8，并且它们的和也是偶数，又因为它们的个位数字的和是7的倍数，所以只能是14，三角形三条边最大可能是86，88，90，那么周长最长为86+88+90=264厘米。 例4: 把25拆成若干个正整数的和，使它们的积最大。 [分析与解] 先从较小数形开始实验，发现其规律: 把6拆成3+3，其积为3×3=9最大; 把7拆成3+2+2，其积为3×2×2=12最大; 把8拆成3+3+2，其积为3×3×2=18最大; 把9拆成3+3+3，其积为3×3×3=27最大;…… 这就是说，要想分拆后的数的乘积最大，应尽可能多的出现3，而当某一自然数可表示为若干个3与1的和时，要取出一个3与1重合在一起再分拆成两个2之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其积37×22=8748为最大。 例5: A、B两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可携带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，问其中一个人最远可以深入沙漠多少千米(要求最后两人返回出发点)?如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用呢? [分析与解] 设A走X天后返回，A留下自己返回时所需的食物，剩下的转给B，此时B共有(48-3X)天的食物，因为B最多携带24天的食物，所以X=8，剩下的24 天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回时用，所以B可以向沙漠深处走16天，因为每天走20千米，所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。 如果改变条件，则问题关键为A返回时留给B24天的食物，由于24天的食物可以使B单独深入沙漠12天的路程，而另外24天的食物要供A、B两人往返一段路，这段路为24÷4=6天的路程，所以B可以深入沙漠18天的路程，也就是说，其中一个人最远可以深入沙漠360千米。 例6: 甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西服，甲厂每月用的时间生产上衣， 的时间生产裤子，全月恰好生产900套西服;乙厂每月用的时间生产上衣，的时间生产裤子，全月恰好生产1200套西服，现在两厂联合生产，尽量发挥各自特长多生产西服，那么现在每月比过去多生产西服多少套? [分析与解] 根据已知条件，甲厂生产一条裤子与一件上衣的时间之比为2:3;因此在单位时间内甲厂生产的上衣与裤子的数量之比为2:3;同理可知，在单位时间内乙厂生产上衣与裤子的数量之比是3:4;，由于，所以甲厂善于生产裤子，乙厂善于生产上衣。两厂联合生产，尽量发挥各自特长，安排乙厂全力生产上衣，由于乙厂生产 月生产1200件上衣，那么乙厂全月可生产上衣1200÷ =2100件，同时，安排甲厂全力生产裤子，则甲厂全月可生产裤子900÷ =2250条。 为了配套生产，甲厂先全力生产2100条裤子，这需要2100÷2250=月，然后甲厂再用月单独生产西服900×=60套，于是，现在联合生产每月比过去多生产西服 (2100+60)-(900+1200)=60套 例7 今有围棋子1400颗，甲、乙两人做取围棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次只能取7P(P为1或不超过20的任一质数)颗棋子，谁最后取完为胜者，问甲、乙两人谁有必胜的策略? [分析] 因为1400=7×200，所以原题可以转化为:有围棋子200颗，甲、乙两人轮流每次取P颗，谁最后取完谁获胜。 [解] 乙有必胜的策略。 由于200=4×50，P或者是2或者可以表示为4k+1或4k+3的形式(k为零或正整数)。乙采取的策略为:若甲取2，4k+1，4k+3颗，则乙取 2，3，1颗，使得余下的棋子仍是4的倍数。如此最后出现剩下数为不超过20的4的倍数，此时甲总不能取完，而乙可全部取完而获胜。 [说明] (1)此题中，乙是“后发制人”，故先取者不一定存在必胜的策略，关键是看他们所面临的“情形”; (2)我们可以这样来分析这个问题的解法，将所有的情形--剩余棋子的颗数分成两类，第一类是4的倍数，第二类是其它。若某人在取棋时遇到的是第二类情形，那么他可以取1或2或3，使得剩下的是第一类情形，若取棋时面临第一类情形，则取棋后留给另一个人的一定是第二类情形。所以，谁先面临第二类情形谁就能获胜，在绝大部分双人比赛问题中，都可采用这种方法。 例8 有一个80人的旅游团，其中男50人，女30人，他们住的旅馆有11人、7人和5人的三种房间，男、女分别住不同的房间，他们至少要住多少个房间? [分析与解] 为了使得所住房间数最少，安排时应尽量先安排11人房间，这样50人男的应安排3个11人间，2个5人间和1个7人间;30个女人应安排1个11人间，2个7人间和1个5人间，共有10个房间。 例9 有一个3×3的棋盘方格以及9张大小为一个方格的卡片，在每一张卡片上任意写上一数，甲、乙两人做游戏，轮流选取一张卡片放到9格中的一格，对甲计算上、下两行六个数字的和，对乙计算左、右两列六个数字的和，和数大者为胜。证明:不论卡片上写着怎样的数，若甲先走总可以有一种策略使得乙不可能获胜。 [证] 有三种情形: (1)当a1+a9＞a2+a8时，甲必胜。甲的策略是:先选a9放入A格中，第二次尽可能选小 的数放入B或D格，则A与C格中的数字之和不小于a1+a9，而B与D格的数字之和不大于a2+a8，，故甲胜。 (2)当a1+a9＜a2+a8时，甲也必胜。甲先取a1放到B格，第二次甲选a8或a9放到A或C格中，这样，A与C格的数字之和不小于a2+a8，而B与D格的数字之和不大于a1+a9，，故甲胜。 (3)当a1+a9 = a2+a8时，甲取胜或和局，甲可采用上述策略中的任一种。 追问 好是好，我是小学的。太多了 回答 1.乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米。问他走后一半路程用了多少分钟? 2.小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍? 3.一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米? 4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟? 5.甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点20米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点98米。问:甲现在离起点多少米? 6.甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问:东西两地的距离是多少千米? 7.李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。0.5小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果3人同时在途中某地相遇。问:骑车人每小时行驶多少千米? 8快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留0.5小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间? 9.某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达。问:汽车速度是劳模步行速度的几倍?
过桥问题（1）
1. 一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分钟行400米，这列火车通过长江大桥需要多少分钟？
分析：这道题求的是通过时间。根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道路程和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速度是已知条件。
总路程： （米）
通过时间： （分钟）
答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。
2. 一列火车长200米，全车通过长700米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？
分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道，要想求车速，我们就要知道路程和通过时间这两个条件。可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车速可以很方便求出。
总路程： （米）
火车速度： （米）
答：这列火车每秒行30米。
3. 一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，山洞长多少米？
分析与解答：火车过山洞和火车过桥的思路是一样的。火车头进山洞就相当于火车头上桥；全车出洞就相当于车尾下桥。这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须知道总路程和车长，车长是已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。
总路程：
山洞长： （米）
答：这个山洞长60米。
和倍问题
1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？
我们把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄是秦奋的4倍”，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦奋年龄的5倍是40岁，也就是（4＋1）倍，也可以理解为5份是40岁，那么求1倍是多少，接着再求4倍是多少？
（1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4＋1＝5（倍）
（2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁
（3）妈妈的年龄：8×4＝32岁
综合：40÷（4＋1）＝8岁 8×4＝32岁
为了保证此题的正确，验证
（1）8＋32＝40岁 （2）32÷8＝4（倍）
计算结果符合条件，所以解题正确。
2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行，3小时共飞行3600千米，甲的速度是乙的2倍，求它们的速度各是多少？
已知两架飞机3小时共飞行3600千米，就可以求出两架飞机每小时飞行的航程，也就是两架飞机的速度和。看图可知，这个速度和相当于乙飞机速度的3倍，这样就可以求出乙飞机的速度，再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度。
甲乙飞机的速度分别每小时行800千米、400千米。
3. 弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？
思考：（1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目中不变的数量是什么？
（2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？
（3）如果把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的几倍？
思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而兄弟俩人课外书的总数始终是不变的数量。
（1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋25＝45。
（2）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩共有的倍数是2＋1＝3。
（3）哥哥剩下的课外书的本数是45÷3＝15。
（4）哥哥给弟弟课外书的本数是25－15＝10。
试着列出综合算式：
4. 甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨？
根据甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，可求出这时甲、乙两库共存粮多少吨。根据“这时甲库存粮是乙库存粮的2倍”，如果这时把乙库存粮作为1倍，那么甲、乙库所存粮就相当于乙存粮的3倍。于是求出这时乙库存粮多少吨，进而可求出乙库原来存粮多少吨。最后就可求出甲库原来存粮多少吨。
甲库原存粮130吨，乙库原存粮40吨。
列方程组解应用题（一）
1. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？
依据题意可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张数，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列出两个方程，组在一起，就是方程组。
两个等量关系是：A做盒身张数+做盒底的张数=铁皮总张数
B制出的盒身数×2=制出的盒底数
用86张白铁皮做盒身，64张白铁皮做盒底。
奇数与偶数（一）
其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。
凡是能被2整除的数叫偶数，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，大于零的奇数又叫单数。
因为偶数是2的倍数，所以通常用 这个式子来表示偶数（这里 是整数）。因为任何奇数除以2其余数都是1，所以通常用式子 来表示奇数（这里 是整数）。
奇数和偶数有许多性质，常用的有：
性质1 两个偶数的和或者差仍然是偶数。
例如：8+4=12，8-4=4等。
两个奇数的和或差也是偶数。
例如：9+3=12，9-3=6等。
奇数与偶数的和或差是奇数。
例如：9+4=13，9-4=5等。
单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数。
性质2 奇数与奇数的积是奇数。
偶数与整数的积是偶数。
性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。
1. 有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？
同学们可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要想使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。
5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。
所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。
2. 甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？
不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。所以他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋子。
如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒子中的黑子数不变。也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。
奥赛专题 -- 称球问题
例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
解 ：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。
解 ：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。
例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。
解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则
（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。
（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。
（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。
奥赛专题 -- 抽屉原理
【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？
【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。
【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？
【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。
【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？
【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。
按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿走。如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10只袜子，就一定会配成3双。
思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？
2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？
3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？
【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？
【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。
最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。
接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。
故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。
思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？
当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。
奥赛专题 -- 还原问题
【例1】某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少元？
【分析】从上面那个“重新包装”的事例中，我们应受到启发：要想还原，就得反过来做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是 1250+100=1350（元）
余下的钱（余下一半钱的2倍）是： 1350×2=2700（元）
用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：
[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）
还原问题的一般特点是：已知对某个数按照一定的顺序施行四则运算的结果，或把一定数量的物品增加或减少的结果，要求最初（运算前或增减变化前）的数量。解还原问题，通常应当按照与运算或增减变化相反的顺序，进行相应的逆运算。
【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又
从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？
【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问题”就知道：哥哥挑“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑“26-14=12”块。
提示：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘（除）以几，还原时应为除（乘）以几。
对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于验算。
奥赛专题 -- 鸡兔同笼问题
例1 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
[分析] ：如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。
解：①鸡有多少只？
（4×6-128）÷（4-2）
=（184-128）÷2
=56÷2
=28（只）
②免有多少只？
46-28=18（只）
答：鸡有28只，免有18只。
例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
[分析]： 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？
假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
100-20=80（只）。
答：鸡与兔分别有80只和20只。
例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少人？
[分析1] 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。
结合下图可以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？
解法1：
一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3
=44（人）
二班：44+5=49（人）
三班：49-7=42（人）
答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。
[分析2] 假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少？
解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49（人）
49-5=44（人），49-7=42（人）
答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。
例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
[分析] 我们分步来考虑：
①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。
解：[6×10-(41+1）÷（6-4）
= 18÷2=9（条） 10-9=1（条）
答：有9条小船，1条大船。
例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？
[分析] 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.
解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？
6×18=108（条）
②有蜘蛛多少只？
（118-108）÷（8-6）=5（只）
③蜻蜒、蝉共有多少只？
18-5=13（只）
④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）
⑤蜻蜒多少只？
（20-13）÷ 2-1）= 7（只）
答：蜻蜒有7只.
1.在∠PCQ里做∠PCM=∠ACP,CM=AC,连接DM,QM.
∵在△ACP与△MCP中，CM=AC,∠ACP=∠MCP,CP=CP
∴△ACP≌△MCP(ASA)
∴AP=PM,∠A=∠PMC
∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠A=∠B=45°，CM=BC,∠A+∠B=90°
∴∠QCM=45°-∠PCM,∠QCB=90°-∠PCQ-∠ACP=45°-∠ACP
∴∠QCM=∠QCB
∵在△QCM与△QCB中,MC=BC,∠QCM=∠QCB,CQ=CQ
∴△QCM≌QCB（SAS）
∴MQ=BQ,∠B=∠QMC
∴∠A+∠B=∠PMC+∠QMC=90°=∠PMQ
∴PM的平方+MQ的平方=PQ的平方
∴PQ的平方=AP的平方+BQ的平方
2.将△APB顺时针旋转60°至△BP1C，连接PP1
∴△APB≌△BP1C,∠PBP1=60°
∴P1C=AP=3,PB=BP1=4,∠APB=∠BP1C
∵∠PBP1=60°,BP=BP1
∴△PBP1为等边三角形
∴PP1=BP1=4,∠PP1B=60°
∵PP1的平方+PP1C的平方=3的平方+4的平方=5的平方=PC的平方
∴△PP1C为Rt△,∠PP1C=90°
∵∠PP1B=60°,∠PP1C=90°
∴∠PP1B+∠PP1C=60°+90°=150°=∠BP1C
∴∠APB=150°
3.延长DE交AC于N，反向延长DE交AB于M
利用三角形两边之和大于第三边，得：
AM+AN＞MD+DE+EN,MB+MD＞DB,EN+NC＞EC
把上面的三式相加得：AB+AC＞BD+DE+EC
4.(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形。
(2) 此时共有2个友好矩形，BCAD、ABEF.
(3) 此时共有3个友好矩形，BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小。
证明过程省略。
2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值．
3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n， 求x的取值范围．
4．设(3x-1)7=a7x7＋a6x6+…+a1x＋a0，试求a0+a2＋a4＋a6的值．
5．已知方程组
有解，求k的值．
6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．
7．解方程组
8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．
9．比较下面两个数的大小：
10．x，y，z均是非负实数，且满足：
x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4，
求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值．
11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式．
19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？说明理由．
20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？
21．如果正整数p和p+2都是大于3的素数，求证：6｜(p＋1)．
22．设n是满足下列条件的最小正整数，它们是75的倍数，且恰有
23．房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后，共有43条腿(包括每个人的两条腿)，问房间里有几个人？
24．求不定方程49x-56y+14z=35的整数解．
25．男、女各8人跳集体舞．
(1)如果男女分站两列；
(2)如果男女分站两列，不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴．
问各有多少种不同情况？
26．由1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152？
27．甲火车长92米，乙火车长84米，若相向而行，相遇后经过1.5秒(s)两车错过，若同向而行相遇后经6秒两车错过，求甲乙两火车的速度．
28．甲乙两生产小队共同种菜，种了4天后，由甲队单独完成剩下的，又用2天完成．若甲单独完成比乙单独完成全部任务快3天．求甲乙单独完成各用多少天？
29．一船向相距240海里的某港出发，到达目的地前48海里处，速度每小时减少10海里，到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等，求原来的速度．
30．某工厂甲乙两个车间，去年计划完成税利750万元，结果甲车间超额15％完成计划，乙车间超额10％完成计划，两车间共同完成税利845万元，求去年这两个车间分别完成税利多少万元？
31．已知甲乙两种商品的原价之和为150元．因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价20％，调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价之和降低了1％，求甲乙两种商品原单价各是多少？
32．小红去年暑假在商店买了2把儿童牙刷和3支牙膏，正好把带去的钱用完．已知每支牙膏比每把牙刷多1元，今年暑假她又带同样的钱去该商店买同样的牙刷和牙膏，因为今年的牙刷每把涨到1.68元，牙膏每支涨价30％，小红只好买2把牙刷和2支牙膏，结果找回4角钱．试问去年暑假每把牙刷多少钱？每支牙膏多少钱？
33．某商场如果将进货单价为8元的商品，按每件12元卖出，每天可售出400件，据经验，若每件少卖1元，则每天可多卖出200件，问每件应减价多少元才可获得最好的效益？
34．从A镇到B镇的距离是28千米，今有甲骑自行车用0．4千米/分钟的速度，从A镇出发驶向B镇，25分钟以后，乙骑自行车，用0．6千米/分钟的速度追甲，试问多少分钟后追上甲？
35．现有三种合金：第一种含铜60％，含锰40％；第二种含锰10％，含镍90％；第三种含铜20％，含锰50％，含镍30％．现各取适当重量的这三种合金，组成一块含镍45％的新合金，重量为1千克．
(1)试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；
(2)求新合金中含第二种合金的重量范围；
(3)求新合金中含锰的重量范围．
2．因为｜a｜=-a，所以a≤0，又因为｜ab｜=ab，所以b≤0，因为｜c｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0，c-b≥0，a-c≤0．所以
原式=-b＋(a＋b)-(c-b)-(a-c)=b．
3．因为m＜0，n＞0，所以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可变为m＋n＞0．当x+m≥0时，｜x+m｜=x＋m；当x-n≤0时，｜x-n｜=n-x．故当-m≤x≤n时，
｜x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．
4．分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得
a0+a2＋a4＋a6=-8128．
5．②＋③整理得
x=-6y， ④
④代入①得 (k-5)y=0．
当k=5时，y有无穷多解，所以原方程组有无穷多组解；当k≠5时， y=0，代入②得(1-k)x=1＋k，因为x=-6y=0，所以1＋k=0，所以k=-1．
故k=5或k=-1时原方程组有解．
＜x≤3时，有2(x＋1)-(x-3)=6，所以x=1；当x＞3时，有
,所以应舍去．
7．由｜x-y｜=2得
x-y=2，或x-y=-2，
所以
由前一个方程组得
｜2+y｜＋｜y｜=4．
当y＜-2时，-(y+2)-y=4，所以 y=-3，x=-1；当-2≤y＜0时，(y＋1)-y=4，无解；当y≥0时，(2＋y)+y=4，所以y=1，x=3．
同理，可由后一个方程组解得
所以解为
解①得x≤-3；解②得
-3＜x＜-2或0＜x≤1；
解③得x＞1．
所以原不等式解为x＜-2或x＞0．9．令a＝99991111，则
于是
显然有a＞1，所以A-B＞0，即A＞B．
10．由已知可解出y和z
因为y，z为非负实数，所以有
u=3x-2y+4z
11.
所以商式为x2-3x+3，余式为2x-4．
又
S△EFD＝S△BFG-SEFDG=4S△BFD-SEFDG，
所以 S△EFGD=3S△BFD．
设S△BFD=x，则SEFDG=3x．又在△BCE中，G是BC边上的三等分点，所以
S△CEG=S△BCEE，
从而
所以
SEFDC=3x＋2x＝5x，
所以
S△BFD∶SEFDC=1∶5．
由已知AC‖KL，所以S△ACK=S△ACL，所以
即 KF=FL．
＋b1=9，a+a1=9，于是a+b+c＋a1＋b1+c1=9＋9+9，即2(a十b＋c)=27，矛盾！
20．答案是否定的．设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0≤k≤8．当改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格．因此，操作一次后，黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个，即增加了一个偶数．于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变．所以，从原有的32个黑色方格(偶数个)，经过操作，最后总是偶数个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的方格纸．
21．大于3的质数p只能具有6k＋1，6k＋5的形式．若p=6k＋1(k≥1)，则p+2=3(2k＋1)不是质数，所以， p=6k＋5(k≥0)．于是，p＋1=6k＋6，所以，6｜(p＋1)．
22．由题设条件知n=75k=3×52×k．欲使n尽可能地小，可设n=2α3β5γ(β≥1，γ≥2)，且有
(α+1)(β+1)(γ＋1)=75．
于是α＋1，β+1，γ＋1都是奇数，α，β，γ均为偶数．故取γ=2．这时
(α+1)(β+1)=25．
所以
故(α，β)=(0，24)，或(α，β)=(4，4)，即n=20·324·52
23．设凳子有x只，椅子有y只，由题意得
3x＋4y+2(x+y)＝43，
即 5x+6y＝43．
所以x=5，y=3是唯一的非负整数解．从而房间里有8个人．
24．原方程可化为
7x-8y+2z＝5．
令7x-8y=t，t＋2z=5．易见x=7t，y=6t是7x-8y=t的一组整数解．所以它的全部整数解是
而t=1，z=2是t＋2z=5的一组整数解．它的全部整数解是
把t的表达式代到x，y的表达式中，得到原方程的全部整数解是
25．(1)第一个位置有8种选择方法，第二个位置只有7种选择方法，…，由乘法原理，男、女各有
8×7×6×5×4×3×2×1＝40320
种不同排列．又两列间有一相对位置关系，所以共有2×403202种不同情况．
(2)逐个考虑结对问题．
与男甲结对有8种可能情况，与男乙结对有7种不同情况，…，且两列可对换，所以共有
2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640
种不同情况．
26．万位是5的有
4×3×2×1=24(个)．
万位是4的有
4×3×2×1=24(个)．
万位是3，千位只能是5或4，千位是5的有3×2×1=6个，千位是4的有如下4个：
34215，34251，34512，34521．
所以，总共有
24+24＋6+4＝58
个数大于34152．
27．两车错过所走过的距离为两车长之总和，即
92＋84=176(米)．
设甲火车速度为x米/秒，乙火车速度为y米/秒．两车相向而行时的速度为x+y；两车同向而行时的速度为x-y，依题意有
解之得
解之得x=9(天)，x＋3=12(天)．
解之得x=16(海里/小时)．
经检验，x=16海里/小时为所求之原速．
30．设甲乙两车间去年计划完成税利分别为x万元和y万元．依题意得
解之得
故甲车间超额完成税利
乙车间超额完成税利
所以甲共完成税利400+60=460(万元)，乙共完成税利350+35=385(万元)．
31．设甲乙两种商品的原单价分别为x元和y元，依题意可得
由②有
0.9x+1.2y=148.5， ③
由①得x=150-y，代入③有
0. 9(150-y)＋1.2y＝148. 5，
解之得y=45(元)，因而，x=105(元)．
32．设去年每把牙刷x元，依题意得
2×1.68＋2(x+1)(1+30％)=[2x＋3(x+1)]-0.4，
即
2×1.68＋2×1.3+2×1.3x＝5x＋2.6，
即 2.4x=2×1.68，
所以 x=1.4(元)．
若y为去年每支牙膏价格，则y=1.4＋1=2.4(元)．
33．原来可获利润4×400=1600元．设每件减价x元，则每件仍可获利(4-x)元，其中0＜x＜4．由于减价后，每天可卖出(400+200x)件，若设每天获利y元，则
y＝(4-x)(400+200x)
＝200(4-x)(2+x)
=200(8＋2x-x2)
=-200(x2-2x+1)＋200+1600
=-200(x-1)2+1800．
所以当x=1时，y最大=1800(元)．即每件减价1元时，获利最大，为1800元，此时比原来多卖出200件，因此多获利200元．
34．设乙用x分钟追上甲，则甲到被追上的地点应走了(25+x)分钟，所以甲乙两人走的路程分别是0．4(25+x)千米和0．6x千米．因为两人走的路程相等，所以
0.4(25+x)=0.6x，
解之得x=50分钟．于是
左边=0.4(25＋50)=30(千米)，
右边= 0.6×50=30(千米)，
即乙用50分钟走了30千米才能追上甲．但A，B两镇之间只有28千米．因此，到B镇为止，乙追不上甲．
35．(1)设新合金中，含第一种合金x克(g)，第二种合金y克，第三种合金z克，则依题意有
(2)当x=0时，y=250，此时，y为最小；当z=0时，y=500为最大，即250≤y≤500，所以在新合金中第二种合金重量y的范围是：最小250克，最大500克．
(3)新合金中，含锰重量为：
x·40％＋y·10％+z·50％=400-0.3x，
而0≤x≤500，所以新合金中锰的重量范围是：最小250克，最大400克．
1。哥哥4个苹果，姐姐有3个苹果，弟弟有8个苹果，哥哥给弟弟1个后，弟弟吃了3个，这时谁的苹果多？
2。小明今年6岁，小强今年4岁，2年后，小明比小强大几岁？
3。同学们排队做操，小明前面有4个人，后面有4个人，这一队一共有多少人？
4。有一本书，小华第一天看了2页，以后每一天都比前一天多看2页，第4天看了多少页？
5。同学们排队做操，从前面数，小明排第4，从后面数，小明排第5，这一队一共有
多少人？
6。有8个皮球，如果男生每人发一个，就多2个，如果女生每人发一个，就少2个，男生有多少人，女生有多少人？
7。老师给9个三好生每人发一朵花，还多出1朵红花，老师共有多少朵红花？
8。有5个同学投沙包，老师如果发给每人2个沙包就差1个，老师共有多少个沙包？
9。刚刚有9本书，爸爸又给他买了5本，小明借去2本，刚刚还有几本书？
10。一队小学生，李平前面有8个学生比他高，后面有6个学生比他矮，这队小学生共有多少人？
11。小林吃了8块饼干后，小林现在有4块饼干，小林原来有多少块饼干？
12。哥哥送给弟弟5支铅笔后，还剩6支，哥哥原来有几支铅笔？
13。雪帆第二中队有8名男同学，女同学的人数跟男同学同样多，雪帆第二中队共有多少名同学？
14。大华和小刚每人有10张画片，大华给小刚2张后，小刚比大华多几张？
15。猫妈妈给小白5条鱼，给小花4条鱼，小白和小花共吃了6条，它们还有几条？
16。同学们到雪帆体育馆借球，一班借了9只，二班借了6只。体育馆的球共减少了几只？
17。明明从布袋里拿出5个白皮球和5个花皮球后，白皮球剩下10个，花皮球剩下5个。布袋里原来有多少个白皮球，多少个花皮球？
18。芳芳做了14朵花，晶晶做了8朵花，芳芳给晶晶几朵花，两人的花就一样多？
19。雪帆妈妈买回一些鸭蛋和12个鸡蛋，吃了8个鸡蛋后，剩下的鸡蛋和鸭蛋同样多，问妈妈一共买回几个蛋？
20。草地上有10只羊，跑走了3只白山羊，又来了7只黑山羊，现在共有几只羊？
21。冬冬有5支铅笔，南南有9支铅笔，冬冬再买几支就和南南的一样多？
22。小平家距学校2千米，一次他上学走了1千米，想起忘带铅笔盒，又回家去取。这次他到学校共走了多少千米？
23。雪帆马戏团有1只老虎，3只猴子，黑熊和老虎一样多，问马戏团有几只动物？
24。春天来了，小明、小冬和小强到郊外捉蝴蝶，小明捉了3只，小冬捉了5只，他们一共捉了12只，小强捉了几只？
25。小华和爸爸、妈妈为植树节义务植树，小华植了1棵，爸爸植了5棵，妈妈比爸爸少植2棵，妈妈植了多少棵，他们一共植了多少棵？
26。第一个盘子里有5个梨，第二个盘子里有4个梨，把第一个盘里拿1个放到第二个盘里，现在一共有多少个梨？
27。小红有2个玩具，小英有3个玩具，小明的玩具比小红多2个，小明有几个玩具？
28。雪帆小学美术兴趣小组有学生9人，书法兴趣小组的人数和美术兴趣小组的人数同样多，这两个兴趣小组共有多少名学生？
29.3个男同学借走6本书，4个女同学借走7本书，他们一共借走多少本书？
30。雪帆王老师有12元钱，正好买一支钢笔和2个笔记本，如果只买一支钢笔，还剩6元钱，你知道一个笔记本多少钱？
31。日落西山晚霞红，我把小鸡赶进笼。一半小鸡进了笼，还有5只在捉虫，另外5只围着我，叽叽喳喳闹哄哄。小朋友们算一算，多少小鸡进了笼？
32。一只猫吃掉一条鱼需要1分钟。照这样，100只猫同时吃掉100条鱼需要几分钟？
33.5个小朋友同时吃5个苹果需要5分钟，照这样，10个小朋友同时吃10个苹果需要几分钟？
34。小华有10个红气球，小花有8个黄气球。小华用4个红气球换小花3个黄气球，现在小华、小花各有几个球？
35.13个小朋友玩"老鹰抓小鸡"的游戏，已经抓住了5只"小鸡"，还有几只没抓住？
36。天色已晚，妈妈叫小明打开房间电灯，可淘气的小明一连拉了9下开关。请你说说这时灯是亮还是不亮？拉20下呢？拉100下呢？
37。小青有9本故事书，小新有7本连环画，小青用3本故事书换小新2本连环画，现在小青、小新各有几本书？
38。小敏到商店买文具用品。她用所带钱的一半买了1支铅笔，剩下的，一半买了1支圆珠笔，还剩下1元钱。小敏原来有多少钱？
39。欢欢和乐乐去买练习本，欢欢买了4本，乐乐买了6本，欢欢比乐乐少花1元钱，一本练习本多少钱？
40。李老师带有60元钱，正好买一个足球和两个排球。如果只买两个排球，还剩28元。一个足球多少钱？一个排球多少钱？
41.15个小朋友排成一队，小东的前面有9人，小东后面有几人？
42.14个同学站成一队做操，从前面数张兵是第6个，从后数他是第几个？
43.13只鸡排成一队，其中有只大公鸡，从前面数，它站在第8，它的后面有几只鸡？
44.13只鸡排成一队，其中有只大公鸡，它的前面有8只鸡，它的后面有几只鸡？
45。有两篮苹果，第一篮25个，第二篮19个，从第一篮中拿几个放入第二篮，两篮的苹果数相等？
46。小力有18张画片，送给小龙3张后，两人的画片同样多。小龙原来有几张画片？
47。小华给小方8枚邮票后，两人的邮票枚数同样多，小华原来比小方多几格邮票？
48。大林比小林多做15道口算题，小明比小林多做6道口算题，大林比小明多做几道口算题？
49。小花今年6岁，爸爸对小花说："你长到10岁的时候，我正好40岁。"爸爸今年多少岁？
50。动物园里有只长颈鹿，它的年龄数是用最大的两位数减去最小的两位数，再减去最大的一位数后所得的数。这只长颈鹿有多少岁？
51.6个小朋友分一袋苹果，分来分去多2个，问这袋苹果至少有几个？
52。一根60米长的绳子，做跳绳用去12米，修排球网用去30米，这根绳子少了多少米？
53。商场运回28台电视机，卖出一些后还剩15台，卖出多少台？
54。小虎学写毛笔字，第一天写6个，以后每天比前一天多写3个，四天一共写了多少个？
55。小云今年8岁，奶奶说："你长到12岁的时候，我62岁。"奶奶今年多少岁？
56。最小的三位数减去最小的两位数，再减去最小的一位数，所得的结果是多少？
57。妈妈从家里到工厂要走3千米，一次，她上班走了2千米，又回家取一很重要工具，再到工厂。这次妈妈上班一共走了多少千米？
58。一辆公共汽从东站开到西站，开一趟。如果这辆车从东站出发，开了11趟之后，这辆车在东站还是西站？
59。一只猫吃一只老鼠用5分钟吃完，5只猫同时吃5只同样大小的老鼠，需要几分钟才能吃完？
60。小明和小亮想买同一本书，小明缺1元7角，小亮缺1元3角。若用他们的钱合买这本书，钱正好。这本书的价钱是多少？他们各带了多少钱？
61。有35颗糖，按淘气-笑笑-丁丁-冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？
62。淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？
63.5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？
64.30名学生报名参加美术小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？
65。有两篮苹果，第一篮25个，第二篮19个，从第一篮中拿几个放入第二篮，两篮的苹果数相等？
66。小力有18张画片，送给小龙3张后，两人的画片同样多。小龙原来有几张画片？
65。小华给小方8枚邮票后，两人的邮票枚数同样多，小华原来比小方多几格邮票？
66。大林比小林多做15道口算题，小明比小林多做6道口算题，大林比小明多做几道口算题？
67。小花今年6岁，爸爸对小花说："你长到10岁的时候，我正好40岁。"爸爸今年多少岁？
68。雪帆动物园里有只长颈鹿，它的年龄数是用最大的两位数减去最小的两位数，再减去最大的一位数后所得的数。这只长颈鹿有多少岁？
69.6个小朋友分一袋苹果，分来分去多2个，问这袋苹果至少有几个？
70。雪帆全家早上、中午、晚上各吃4个苹果。一天中，雪帆家吃了多少个苹果？
71。商场运回28台电视机，卖出一些后还剩15台，卖出多少台？
72。小虎学写毛笔字，第一天写6个，以后每天比前一天多写3个，四天一共写了多少个？
73。小云今年8岁，奶奶说："你长到12岁的时候，我62岁。"奶奶今年多少岁？
74。最小的三位数减去最小的两位数，再减去最小的一位数，所得的结果是多少？
75.5个小朋友同时吃5个苹果需要5分钟，照这样，10个小朋友同时吃10个苹果需要几分钟？
76。小华有10个红气球，小花有8个黄气球。小华用4个红气球换小花3个黄气球，现在小华、小花各有几个球？
77。新星小学美术兴趣小组有学生9人，书法兴趣小组的人数和美术兴趣小组的人数同样多，这两个兴趣小组共有多少名学生？
78。天色已晚，妈妈叫小明打开房间电灯，可淘气的小明一连拉了9下开关。请你说说这时灯是亮还是不亮？拉20下呢？拉100下呢？
79。小青有9本故事书，小新有7本连环画，小青用3本故事书换小新2本连环画，现在小青、小新各有几本书？
80。小敏到商店买文具用品。她用所带钱的一半买了1支铅笔，剩下的，一半买了1支圆珠笔，还剩下1元钱。小敏原来有多少钱？
81。欢欢和乐乐去买练习本，欢欢买了4本，乐乐买了6本，欢欢比乐乐少花1元钱，一本练习本多少钱？
82。王跃老师带有60元钱，正好买一个足球和两个排球。如果只买两个排球，还剩28元。一个足球多少
钱？一个排球多少钱？
83。一只小黑羊排在小白羊队伍里，从前面数小黑羊是第7只，从后面数小黑羊是第4只。这队小羊一共有多少只？
84.14个同学站成一队做操，从前面数张兵是第6个，从后数他是第几个？
85.13只鸡排成一队，其中有只大公鸡，从前面数，它站在第8，它的后面有几只鸡？
86.13只鸡排成一队，其中有只大公鸡，它的前面有8只鸡，它的后面有几只鸡？
87。小明今年10岁，妈妈今年38岁，当小明15岁时，妈妈多少岁？
88。小明和小红都集邮票。小明给了小红6枚后，两人的邮票同样多，原来小明的邮票比小红的多多少枚？
89。龙龙用4元买一个菠萝，用买一个菠萝的钱可以买1千克香蕉。买1千克香蕉的钱可以买4个梨。每个梨多少元？
90。强强和小华打了2小时的乒乓球，每人打了多少小时？
91。有一个两位数，个位上的数比十位上的数多5，这个数可能是多少？
92。参加数学比赛的同学有40人。小红和一起参加比赛的同学每人握一次手，一共握多少次？
93.18个同学排队做操，明明的右边有10个人，他的左边有几个？
94。一只钟的对面有一面镜子，镜子里的钟表如下图，那么钟表上正确的时间是几时？钟表上现在时间是几时？
95。华华家上面有3层，下面有2层，这幢楼共有多少层？
96。操场上站着一排男同学，一共有6个，在每两个男同学之间站2个女同学，一共站了多少个女同学？
97。小花今年10岁，她比爸爸小28岁，去年，她比爸爸小多少岁？
98。小猴与小兔去摘桃，小猴摘下15个桃，当小猴将自己的桃分3个给小兔子时，它俩的桃就一样多，你知道小兔子摘了多少个桃？
99。小明暑假和父母去北京旅游，他们和旅游团的每一个人合照一次像，一共照了15张照片，参加旅游团的共有多少人？
100。小军跟爸爸到外地旅游，爸爸买一张火车票是5元，小军买半票，他们来回一共要付多少元？
我是凑热闹的 你的要求太高了 来不及给你答案
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.我们知道：太阳的温度很高，其表面温度大概有6 000℃，而太阳中心的温度更是达到了惊人的19 200 000℃，其实，对于具有一定质量的恒星来说，它的核心部分的温度总是随着年龄的增长而逐渐升高的，天文学家估算，有些恒星中心温度最高可以达到太阳中心温度的312.5倍，请你用科学记数法表示出这些恒星中心的温度为( )
A.6.0× ℃ B.6.0× ℃
C.6.0× ℃ D.6.1× ℃
2.岩岩家住在人民广场附近，她经常看到有好多人把自行车存到广场旁边.有一次她问看自行车的老大爷，得知当天的存车量为6 882辆次，其中普通自行车的存车费是每辆次0.2元，电动自行车的存车费是每辆次0.5元，且到19∶00以后，两种存车费都要翻倍.已知该天普通自行车19∶00之前的存车量为5 180辆次，19∶00之后的存车量为335辆次，其总收入为电动自行车的1.5倍.那么电动自行车在晚19∶00前和19∶00后的存车量各有( )
A.1 072辆次、294辆次 B.1 174辆次、193辆次
C.973辆次、394辆次 D.1 173辆次、254辆次
3.期中考试过后，李老师把八年级一班60名学生的成绩进行了统计，制成了如图1所示的统计图，其中60分以下的人数和90分以上的人数一样多，而其它三个分数段(60—70，70—80，80—90)的频率分别是0.15、0.35、0.30.按学校规定成绩在80分以上(含80分)为优秀，那么这次考试中成绩优秀的学生有( )
A.20人 B.24人 C.25人 D.27人
4.小王8∶30从家出门去参观房展，家里的闹钟也指向8∶30，房展结束，他12∶00准时回到家，发现家里的闹钟才11∶46，那么，再过几分钟此闹钟才能指到12点整( )
A.13分钟 B.14分钟 C.15分钟 D.16分钟
5.6月份以来，猪肉价格一路上涨.为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元.若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W(元)的最小值和最大值分别是( )
A.8 000，13 200 B.9 000，10 000
C.10 000，13 200 D.13 200，15 400
二、填空题(每小题6分，共30分)
6.小龙乘坐商场的自动扶梯下楼，他以每步一级的速度往下走，结果走了30步就到楼下，猛然发现，由于匆忙包丢在购物处了，接着他又以下楼时速度的3倍冲上楼梯，结果走了90步才到楼上，当电梯停下时，露在外面的电梯一共有 级.
7.如图2，是一玻璃盛水容器，高度为45厘米，现容器中水面高度为15厘米，如图2(1)所示，现将容器口密封并倒置此容器后，如图2(2)所示，这时水面高度为25厘米，已知，此容器最多可盛水700毫升，那么此时容器中水的体积为 毫升.
8.“爱心”教育基金会资助某山村学校13 440元，其中七、八年级的学生平均每人60元，七、八年级的每位学生都接受了资助;九年级每个学生100元，但九年级学生有40%因家庭条件好而未接受资助.则该学校一共有 名学生.
9.如图3所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，且AD=2cm，请问徽标的外围周长为 cm.
10.你看过机器人大赛吗?在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头.如图4， ， ， ，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速前进向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC= cm.
三、解答题(本大题共60分)
11.(本题10分)去年在德国举行的“世界杯”足球赛吸引了世界各国球迷的目光，不知道你对足球比赛的积分规则了解多少呢?最为常用的足球比赛的积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分.现在知道，有一支足球队在某个赛季共需比赛16场，现已比赛了9场，输了2场，得19分.
请问：(1)前9场比赛中，这支球队共胜了多少场?
(2)这支球队打满16场比赛，最高能得多少分?
(3)通过对比赛情况的分析，这支球队打满16场比赛，得分不低于34分，就可以达到预期的.目标.请你分析一下，在后面的7场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标?
12.(本题15分)2008年北京奥运会的主会场——鸟巢年底就要竣工了，也许你也知道它全都是利用优质钢筋焊接而成的.也许你会为它骄傲，为它自豪.可是你是否知道为了节约钢筋，还有许多科学道理呢?如图5就是从长为40cm，宽为30cm的矩形钢板的左上角剪下一块长为20cm、宽为10cm的矩形后剩下的一块脚料，工人师傅为了节约，要将它做适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件再重新使用.
(1)请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图5(2)和图5(3)中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得的正方形，保留拼接的痕迹);
(2)比较(1)中的两种方案，哪种更好些?说说你的看法和理由.也为建设节约型社会做出一点贡献!
13.(本题15分)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风(圣帕)于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风.向台湾东部沿海逼近并登台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆.在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图6所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响.试问：
(1)该城市是否会受到台风影响?请说明理由.
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?
14.(本题20分)如图7是一测力器，在不受力的自然状态下， 测力器弹簧MN为40cm(如图7(1));当被测试者将手掌放在点P处，然后尽力向前推， 测力器弹簧MN的长度会随着受力大小的不同而发生变化，此时测力器的刻度表的指针所指的数字就是测试者的作用力;图7(2)是测力器在最大受力极限状态时，测力器弹簧MN的最小长度为8cm; 图7(3)、图7(4)是两次测试时，测力器所展现的数据状态;已知测力器弹簧MN的长度y (cm)与受力x(N)之间存在一次函数关系.
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)当指针指向300时，MN的长是多少?
(3)求该测力器在设计时所能承受的最大作用力是多少?
三、开放题(本题30分)
15.材料一：19世纪俄国伟大作家托尔斯泰的一句名言是这么说的“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估计好比分母.分母越大，则分数的值越小.”
材料二：一天小聪向班长反映一个问题：成绩不好的张x同学失学了.班长说：“唉，分母变小了，分数值增大了”.
请你针对上述两个材料就“分子与分母”这个话题，结合你身边的实例，谈谈你对分母变大，分数值变小的理解.
参考答案
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.B
2.B
3.B
4.C(提示：从8∶30到12∶00共三个半小时，在这三个半小时内闹钟共慢了14分钟，平均每小时慢4分钟，所以慢钟与正常钟走时之比为 ，慢的闹钟从11点46分走到12点整，按慢钟来计要走14分钟，因此若按准时的钟来计就要15分钟了.)
5.C(提示：由题设可知A、B、C三市派往D市的运输车的辆数分别是 、 、( )辆，派往E市的运输车的辆数为 ， ， ，
则总运费
.依题意有 ，解之，得 ，当 时， 元，当 时， 元.故选C.)
二、填空题(每小题6分，共30分)
6.60(提示：设往下走时，人走一步电梯往下走 级，则有 ，解得 ，所以电梯的级数为 (级).)
7.300(提示：由图可知，瓶中水的体积和空的部分之比为 .又知此容器的容积为700毫升，所以水的体积为300毫升.)
8.224(提示：资助九年级学生每人100元，但有40%的学生没有接受资助，这样九年级所有学生的平均钱数也是每人60元，而七、八年级每人60元，即整个学校每个学生平均能得到60元，所以该校学生总人数为 (人).)
9.52(提示：设 的较长直角边为 ，短直角边为 ，斜边为 ，依题意有 ， .又由勾股定理得 ，所以 ，故徽标的外围周长 .)
10.25(提示：因为 ，所以可设 ，则 ，在 中，根据勾股定理可得： ，解得 .即机器人行走的路程为25cm).
三、解答题(每小题15分，共60分)
11.解：(1)设这个球队胜x场，则平了( )场.
根据题意，得 .
解之，得 .
所以前9场比赛中，这个球队共胜了6场.
(2)打满16场比赛最高能得 (分).
(3)由题意知，以后的7场比赛中，只要分不低于15分即可.
所以胜不少于5场，一定达到预期目标，而胜4场、平3场，正好达到预期目标.所以在以后的比赛中这个球队至少要胜4场.
12.(1)图1和图2即为所作图.
(2)图1中第一种分割方案较好，因为分割的块数较少.但焊接处和图2中第二种方案一样长.
13.解：(1)该城市会受到台风影响.
理由：如图3，过点A作 于D点，
则 即为该城市距离台风中心的最短距离.
在 中，因为 .
∴ (千米).
由题可知，距台风中心在 (千米)以内时，则会受到台风影响.
因为120200，因此该城市将会受到“圣帕”影响.
(2)依题(1)可知，当点A距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC上作 ;台风中心从点E移动到点F处时，该城市会处在台风影响范围之内.(如图4)
由勾股定理得， (千米).
所以 (千米).
又知“圣帕”中心以20千米/时的速度移动.
所以台风影响该城市 (小时).
(3)该城市受台风影响最大风力7.2级.
14.(1)设函数解析式为 ，由于图象过点(200，30)(100，35).
所以 解之得 .
∴ .
(2)当 时，代入解析式得 .
∴当指针指向300时， MN的长是25cm.
(3)当 时，代入解析式得 .
∴该测力器所能承受的最大作用力是640N.
四、开放题(本题30分)
15.略.
先给你一个网站：奥数网
第十七届“希望杯’’全国数学邀请赛
初二 第2试
2006年4月16日 上午8：30至lO：30 得分___________
一、选择题(每小题4分，共40分．)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内．
1．下列四组根式中，是同类二次根式的一组是( )
2．要使代数式 有意义，那么实数x的取值范围是( )
3．以线段a=13，b=13，c=10，d=6为边作梯形，其中a，c为梯形的两底，这样的梯形( )
(A)能作一个． (B)能作两个． (C)能作无数个． (D)一个也不能作．
(英汉词典：Fig．figure的缩写，图；quadrilateral四边形；diagonal对角线；value数值；variable变量；to depend on取决于；position位置)
(A)是完全平方数，还是奇数． (B)是完全平方数，还是偶数．
(C)不是完全平方数，但是奇数． (D)不是完全平方数，但是偶数．
6．将任意一张凸四边形的纸片对折，使它的两个不相邻的顶点重合，然后剪去纸片的不重合部分，展开纸片，再一次对折，使另外的两个顶点重合，再剪去不重合的部分后展开，此时纸片的形状是( )
(A)正方形． (B)长方形． (C)菱形． (D)等腰梯形．
7．若a,b,c都是大于l的自然数，且 =252b,则n的最小值是( )
(A)42． (B)24． (C)21 (D)15
(英汉词典：two-placed number两位数；number数，个数；to satisfy满足；complete square完全平方(数)；total总的，总数)
9．下表是某电台本星期的流行歌曲排行榜，其中歌曲J是新上榜的歌曲，箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上星期名次的变化情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，不标注的则表明名次没有变化，已知每首歌的名次变化都不超过两位，则上星期排在第1，5，7名的歌曲分别是( )
(A)D，E，H． (B)C，F，I． (C)C，E，I． (D)C，F，H．
10．设n(n≥2)个正整数 ， ，…， ，任意改变它们的顺序后，记作 ， ，…， ，若P=( - )( - )( )…( 一 )，则( )
(A)P一定是奇数． (B)P一定是偶数．
(C)当n是奇数时，P是偶数． (D)当”是偶数时，P是奇数．
二、填空题(每小题4分，共40分．)
11．消防云梯的长度是34米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼16米远的地方，则云梯能达到大楼的高度是______米．
15．从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形，若m等于这个凸n边形对角线条数的 ，那么此n边形的内角和为_____．
16．某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体中聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适，那么人从感染第一个病毒后，经过_______分钟，就会感到不适．(1米=10 纳米)
19．如图2，等腰△ABC中，AB=AC，P点在BC边上的高AD上，且 ，
BP的延长线交AC于E，若 =10，则 =______， =_______.
20．一个圆周上依次放有1，2，3，…，20共20个号码牌，随意选定一个号码牌(如8)，从它开始，先把它拿掉，然后每隔一个拿掉一个(如依次拿掉8，10，12，…)，并一直循环下去，直到剩余两个号码牌时停止，则最后剩余的两个号码的差的绝对值是______或_______．
三、解答题(本大题共3小题，共40分．) 要求：写出推算过程．
21．(本小题满分10分)
如图3，正方形ABCD的边长为a，点E、F、G、H分别在正方形的四条边上，已知EF‖GH．EF=GH．
(1)若AE=AH= ，求四边形EFGH的周长和面积；
(2)求四边形EFGH的周长的最小值．
22．(本小题满分15分)
已知A港在B港的上游，小船于凌晨3:00从A港出发开往B港，到达后立即返回，来回穿梭于A、B港之间，若小船在静水中的速度为16千米／小时，水流速度为4千米／小时，在当晚23：OO时，有人看见小船在距离A港80千米处行驶．求A、B两个港口之间的距离.
23．(本小题满分15分)
在2,3两个数之间，第一次写上 ，第二次在2，5之间和5，3之间分别写上 和 ,如下所示：
第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的 .
(1)请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和；
(2)经过k次操作后所有数的和记为 ，第k+1次操作后所有数的和记为 ，写出 与 之间的关系式；
(3)求 的值.
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初中二年级 第2试
一．选择题(每小题4分)
二．填空题(每小题4分)
三、解答题
21．(1)如图1，连结HF．由题知四边形EFGH是平行四
边形，所以
又
所以
所以 (3分)
所以△AHE和△DHG都是等腰直角三角形，故∠EHG= ，四边形EFGH是矩形．
易求得
所以四边形EFGH的周长
为2 ，面积为 ．(5分)
(2)如图2，作点H关于AB边的对称点 ，连结 ，交AB于 ，连结
H．显然，点E选在 处时．EH+EF的值最小，最小值等于 .
(7分)
仿(1)可知当AE≠AH时，亦有
(8分)
所以
因此，四边形EFGH周长的最小值为2 ．
(10分)
22．设A、B两个港口之间的距离为L，显然
(1分)
(1)若小船在23：00时正顺流而下，则小船由A港到达下游80千米处需用
即19：00时小船在A港，那么在3：00到19：00的时间段内，小船顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同，而所用的时间与速度成反比，设小船顺流行驶用了t小时，则逆流行驶用了(16一t)小时，所以
解得 t=6 (5分)
即顺流行驶了
由于
所以A、B两个港口之间的距离是120千米．
(7分)
(2)若小船在23：00时正逆流而上，则小船到达A港需再用
即小船在
内顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同，而所用的时间与速度成反比，设小船顺流行驶用了 小时，则逆流行驶用了 小时，所以
解得 (12分)
即顺流行驶了
由于
所以A、B两个港口之间的距离可能是100千米或200千米． (14分)
综上所述，A、B两港口之间的距离可能是100千米或120千米或200千米． （15分)
23．(1)第3次操作后所得到的9个数为
它们的和为 (4分)
(2)由题设知 =5，则
(10分)
(3)因为
所以
(15分)
