初三竞赛题数学压轴难题（初三数学压轴题100题精选）
初三竞赛题数学压轴难题（初三数学压轴题100题精选）
2011-03-06 18:171.因为当x=0时，y=6
x=8时,y=0
所以可得方程组：b=6
8k+b=0
解之得，k=-3/4
b=6
所以y=-3/4x+6
2因为三角形APQ与三角形AOB相似
所以要分两种情况讨论
（1）当三角形APQ与三角形AOB相似
因为角AOB=90度 所以有勾股定理得 AB=10
所以AP/AO=AQ/AB
所以t/6=10-2t/10
解之得，t=30/11
(2)当三角形AQP与三角形AOB相似
所以AQ/AO=AP/OB
所以10-2t/6=t/8
解之得t=40/11
（本题要注意相似三角形对应的问题，要考虑2种情.况）
3.作QC垂直AO
因为三角形ACQ=90度 所以ACQ相似于AOB
设CQ=X
则：AQ/QB=CQ/OB
所以10-2t/10=x/8
x=8-1.6t
所以三角形APQ的面积可以表示为：
AP*QC=t*(8-1.6t)
因为三角形APQ的面积为五分之二十四
所以t*(8-1.6t)=24/5
化简，解之得：t1=5+根号13（舍去） t2=5-根号13
(本题的关键是用含t的代数式表示APQ的高）
解：（1）B（0，4），OB=4，OA=3，OC=3，
直线解析式为：y=-43x+4，
抛物线的解析式为：y=x2-4x+3；
（2）（2）若⊙P与直线AB及x轴都相切，
则点P在∠BAO或它的外角的平分线所在的直线上．
①设∠BAO的外角平分线交y轴于D，过D作DH⊥AB于H，
则DH=DO=m，BD=4-m，AH=AO=3，BH=5-3=2
在Rt△BHD中，BD2=BH2+DH2
即（4-m）2=m2+22，
解得：m=32
即D（0，1.5）
则直线AD的解析式为：y=-12x+32，
将其与抛物线的解析式y=x2-4x+3联立解得：{x1=3；y1=0，{x2=12；y2=54
即P（12，54）
②设∠BAO外角的平分线交y轴于G，
则AG⊥AD于A，则△DOA∽△AOG，故OG=2OA=6
即G（0，-6）直线DG解析式为：y=2x-6
将其与抛物线的解析式y=x2-4x+3联立解得：{x1=3；y1=0
∴存在点P（12，54），使⊙P与直线AB及x轴都相切
（3）过P作PM⊥x轴于M，显然PM是Rt△OQE的中位线，即OE=2OM=2|x|，QE=2PM
点P在抛物线x2-4x+3上，则P（x，x2-4x+3），QE=2PM=2|x2-4x+3|
①当x＜0时，x2-4x+3＞0，OE=-2x，y=2[-2x+2（x2-4x+3）]=4x2-20x+12
②当1＜x＜3时，x2-4x+3＜0，y=2[2x-2（x2-4x+3）]=-4x2+20x-12
③当0＜x＜1或x＞3时，x2-4x+3＞0，y=2[2x+2（x2-4x+3）]=4x2-12x+12
难题已发了
解：
（1）因为方程x^2-12x+32=0的两根为
X1=8,x2=4
由于OA,OB的长为方程的两根，则必有OA=8,0B=4
根据图示AB的位置关系，则：
点A的坐标为A（-8,0），点B的坐标为B（0,4）
设经过AB的直线方程为：Y=KX+4
将A(-8,0)带入求得K=1/2
则直线AB的方程为y=x/2+4
(2)设P点坐标为P(m,n)
P点在直线y=x/2+4上，则有：
m/2+4=n
因为：AP/PB=1/3
则：√[（m+8）^2+n^2]/ √[m^2+(n-4)^2]=1/3
即[（m+8）^2+n^2]/ [m^2+(n-4)^2]=1/9
将m/2+4=n带入方程消去n并整理可得：
m^2+18m+72=0
解得m=-6或-12
因为P在AB上，则必有-8=m=0
则m=-6，n=1
则P坐标为P（-6,1）
设反比例函数为y=k/x
将y的坐标带入可得：k=-6
则y=-6/x
(3)由前面的计算可知：A(-8,0),P(-6,1)则AP=√（2^2+1^2）=√5
显然OA=8AP=√5,而OP=√37OA=8
则OA边必定不能为梯形的腰，由图示OA与AP线段的位置可知：
要使得四边形APOQ为等腰梯形,必然OA为梯形的下底，AP为腰。
问题转化为在△AOB内是否存在一点Q使得四边形APOQ为等腰梯形。
不妨假设存在点Q（s，t）使得四边形APOQ为等腰梯形，那么必有：
PQ∥OA,即必有t的值为P点的纵坐标，即t=1
则Q坐标为（s，1）
由等腰梯形两腰相等，则必有：
OQ=AP
即√(s^2+1)= √3
解得：s=±√2
由于点Q在△AOB内，则-8=s=0
所以s=-√2
则点Q坐标为(-√2,1)
由上面的计算可知，存在这样的点Q使得四边形APOQ为等腰梯形，点Q坐标为：
Q(-√2,1)
一、单点运动
例1.（2006长春）如图，在平面直角坐标系中，两个函数y=x， 的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ//x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与ΔOAB重叠部分的面积为S。
（1）求点A的坐标。
（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。
（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。
（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN和ΔOAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是__________。
解：（1）由 ，可得
∴A（4，4）。
（2）点P在y=x上，OP=t，
则点P坐标为（ ）。
点Q的纵坐标为 ，并且点Q在 上。
∴ 。
点Q的坐标为（ ）
PQ 。
当
当 时，
当点P到达A点时，
当 时，
（3）有最大值，最大值应在 中，
当 时，S的最大值为12。
（4）
二、双点运动
例2.（2006广安）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线 经过点A、B，且 。
（1）求抛物线的解析式。
（2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动。
①移动开始后第t秒时，设 ，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标，如果不存在，请说明理由。
解：（1）据题意知：
A（0，－2），B（2，－2）
∵A点在抛物线上，∴
由AB=2知抛物线的对称轴为：x=1
即：
∴抛物线的解析式为：
（2）①由图象知：
即
②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形。
∵
∴
∴ 。这时 ，BQ=0.8，P（1.6，－2），Q（2，－1.2）
分情况讨论：
A）假设R在BQ的右边，这时 ，则：
R的横坐标为2.4，R的纵坐标为－1.2，
即（2.4，－1.2）
代入 ，左右两边相等
∴这时存在R（2.4，－1.2）满足题意。
B）假设R在BQ的左边，这时 ，则：
R的横坐标为1.6，纵坐标为－1.2，
即（1.6，－1.2）
代入 ，左右两边不相等，R不在抛物线上。
C）假设R在PB的下方，这时 ，则：
R（1.6，－2.4）代入 ，左右不相等，R不在抛物线上。
综上所述，存在一点R（2.4，－1.2）
三、直线运动
例3.（2006锦州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设ΔOMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（ ），试求S与t的函数表达式；
（3）在题（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？
解：（1）∵四边形OBABC为菱形，点C的坐标为（4，0）
∴OA=AB=BC=CO=4。
过点A作AD⊥OC于D。
∵∠AOC=60°，
∴OD=2， 。
∴A（2， ），B（6， ）。
（2）直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：
① 时，直线l与OA、OC两边相交（如图①）。
∵MN⊥OC，∴ON=t。
∴ 。
。
②当 时，直线l与AB、OC两边相交（如图②）
。
③当 时，直线l与AB、BC两边相交（如图③）
设直线l与x轴交于点H。
∵
，
∴
。
∴
，
（3）由（2）知，当 时， ；
当 时， ；
当 时，配方得 ，
∴当t=3时，函数 。
但t=3不在 内，
∴在 内，函数 的最大值不是 。
而当t3时，函数 随t的增大而减小，
∴当 。
综上所述，当t=4秒时， 。
四、三角形运动
例4.（2006青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是ΔEFG斜边上的中点。
如图②，若整个ΔEFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在ΔEFG平移的同时，点P从ΔEFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，ΔEFG也随之停止平移。设运动时间为x(s)，FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）。
（1）当x为何值时，OP//AC？
（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由。
（参考数据：
）
解：（1）∵RtΔEFG∽RtΔABC，
∴ 。
∴ 。
∵当P为FG的中点时，OP//EG，EG//AC，
∴OP//AC。
∴ 。
∴当x为1.5s时，OP//AC。
（2）在RtΔEFG中，由勾股定理得：EF=5cm。
∵EG//AH，
∴ΔEFG∽ΔAFH。
∴ 。
∴ 。
∴ 。
过点O作OD⊥FP，垂足为D。
∵点O为EF中点，
∴ 。
∵ ，
∴
（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为13：24。
则
∵0x3，
∴当 时，四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为13：24。
五、矩形运动
例5.（2006南安）如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB=3，AD=5。若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动。同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A—B—C—D的路线作匀速运动。当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动。
（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；
（2）设P点运动时间为t（秒）。
①当t=5时，求出点P的坐标；
②若ΔOAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）。
解：（1）P点从A点运动到D点所需的时间= （秒）
（2）①当t=5时，P点从A点运动到BC上，
此时OA=10，AB＋BP=5，
∴BP=2
过点P作PE⊥AD于点E，
则PE=AB=3，AE=BP=3
∴
∴点P的坐标为（12，3）。
②分三种情况：
（i）当 时，点P在AB上运动，
此时OA=2t，AP=t
（ii）当 时，点P在AB上运动，此时OA=2t
∴
（iii）当8t11时，点P在CD上运动，
此时OA=2t，
∴
综上所述，s与t之间的函数关系式是：当 时， ；当 时，s=3t；当8t11时，
六、圆的运动
例6.（2006南昌）已知抛物线 ，经过点A（0，5）和点B（3，2）
（1）求抛物线的解析式；
（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，问⊙P在运动过程中，是否存在⊙P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若⊙Q的半径为r，点Q在抛物线上、⊙Q与两坐轴都相切时求半径r的值。
解：（1）由题意，得
解得
抛物线的解析式为
（2）当⊙P在运动过程中，存在⊙P与坐标轴相切的情况。（如图1）
图1
设点P坐标为（ ， ）
则当⊙P与y轴相切时，有
由
∴P1（－1，10），
由 ，得
∴P2（1，2）
当⊙P与x轴相切时有
∵抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方。
∴y0=1
由 ，得 ，解得 ，B（2，1）
综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：
P1（－1，10），P2（1，2），P3（2，1）
（3）设点Q坐标为（x，y），则当⊙Q与两条坐标轴都相切时（如图2），有 由y=x得 ，
即 ，解得 ；
由 ，得 。
即 ，此方程无解
∴⊙O的半径为
