初三竞赛题数学（初三竞赛题数学人教）
初三竞赛题数学（初三竞赛题数学人教）
解：
1、已知n是正整数，且2n+1与3n+1都是完全平方数，得：
n=40,
5n+3=5*40+3=203
因为203=29*7，不是是质数。
所以不存在这样的数n; ##
2、设m为整数，且关于x的方程mx^2+2（m-5）x+m-4=0有整数根，则m的值为 （m=-18）
==delta:=[2（m-5）]^2-4m(m-4)=100-24m
原式的解：x=[-2（m-5)±√(100-24m)]/2m
=-1+[5±√(25-6m)]/m
=-1+{5±√[5^2+(-6m)]}/m
要使√[5^2+(-6m)]}为整数，
==必须使5^2+(-6m)为完全平方数
==由勾股数5--12---13，得
-6m=12^2=144
m=-18;
== x=-1+{5±√[5^2+(-6*-18)]}/(-18)
=-1+{5 ±√[5^2+12^]}/(-18)
=-1+(5± 13)/(-18)
有一个整数根：=-1+(5+13)/(-18)=-2；
3、如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为（ 1 ）
A、1 B、2 C、3 D、4
解：
当3n+1是一个完全平方数时, n+1都能表示成k个完全平方数的和,
不小于8的自然数n,取n=8，有：
3*8+1=25是完全平方数；
n+1=8+1=9;
9=3^2=2^2+2^+1^2;
所以最小的K=1;
4、若m^2=n+2,n^2=m+2(m不等于n)，则m^3-2mn+n^3的值为（ 0 ）
A、1 B、0 C、-1 D、-2
解：m^2=n+2,n^2=m+2，两式相减：得（m^2-n^2)=-(m-n)==m+n=-1;
m^2=n+2,n^2=m+2，两式相加：得（m^2+n^2)=(m+n)+4==m^2+n^2=3;
因为：m+n=-1==（m+n）^2=(-1)^2
== m^2+n^2+2mn=1
== mn=[1-(m^2+n^2)]/2=(1-3)/2=-1;
m+n=-1==（m+n）^3=(-1)^3
== m^3+n^3+3mn(m+n)=-1
== m^3+n^3=1-3mn(m+n)=1-3*(-1)(-1)=-2;
所以：m^3-2mn+n^3=-2-2*（-1）=0； ##
5、设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有_2115_对。
解：因为 N=23x+92y,
==y=-x/4+N/92
因为N不超过2392
所以N/92=2392/92=26;
经过比较N/92可能的取值范围（26，25，24，23，22…,3,2,1），仅当N/92=23时，有: N/92=23
==N=2116=46*46,为完全平方数。
==y=-X/4+2116
即求直线y=-X/4+2116上的正整数解（X、Y）。
==其正整数的通解： (X=4K，Y=2116-K)，其中（k为自然数，K=1，2，3，，n）
要使Y=2116-k为正整数，
==则必须Y=2116-k0;
==K2116;即K=2115 ;
所以共有2115对正整数（X、Y）；##
6、在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数y=（x-90）^2-4907的图像上所有“好点”的坐标。
（题目“y=（x-90）^2-4907”的“4907”是否打错了，仔细看看，在修改！！！）
7、已知方程x^2-6x-4n^2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
解：==delta:=6^2-4(-4n^2-32n)=36+4(4n^2+32n)
原式的解：x=6±√[36+4(4n^2+32n)]/2
=3±√(4n^2+32n+9)
要使x为整数，
==必须使4n^2+32n+9为完全平方数
==得:取4n^2+32n+9=（1，4，9，16，25，36，49，64，…,n^2）
4n^2+32n+9=9
==n=0; ##
8、若D、E、F分别为△ABC的BC、CA、AB上的一点，且BD：DC=1，CE：EA=2，AF：FB=3，S△ABC=24，求△DEF的面积。
解：
（1）求S3
△ABC、△AFC与△BFC以AB为底边，过C点，有相同高，设为H,
所以有：AB*H= S△ABC;
FB*H= S△BFC;
两式相除得：S△BFC=FB/AB* S△ABC;
因为AF ：FB=3; ==AB：FB=4;
所以：S△BFC=FB/AB* S△ABC=1/4*24=6;
在△BFC中，D是BC的中点，所以：
S3与S△DFC面积相等，== S3= S△BFC/2=6/2=3;
(2）求S2,S1
△ABC、△ABE与△BEC以AC为底边，过B点，有相同高，设为Hb,
所以有：AC*Hb= S△ABC; ---(*)
AE*Hb= S△ABE; ---(**)
EC*Hb= S△BEC; ---(***)
(*)与(**)两式相除得：S△ABE=AE/AC* S△ABC;
(*)与(***)两式相除得：S△BEC=CE/AC* S△ABC;
因为CE:AE =2; ==AE：AC=1/3;
==CE：AC=2/3;
所以：S△ABE=AE/AC* S△ABC=1/3*24=8;
S△BEC=CE/AC* S△ABC=2/3*24=16;
在△ABE中，F是AB的(3:1)点，所以：（同理用高相等，底边不同来求解）
S2与S△DFC面积之比=底边之比=AF/FB=3:1
== S2与 S△ABE之比=3/4;
== S2= S△ABE*3/4=8*3/4=6;
同理S1= S△BEC*1/2=16*1/2=8;
所以S△DEF=S△ABC-S1-S2-S3=24-8-6-3=7; ##
9、设a^2+1=3a,b^2+1=3b,且a≠b，则代数式(1/a^2)+(1/b^2)的值为（ B=7 ）
A、5 B、7 C、9 D11
解：a^2+1=3a,b^2+1=3b相减
==a^2-b^2=3(a-b)
==(a-b)(a+b)=3(a-b), 且a≠b，
==a+b=3 (1)
a^2+1=3a,b^2+1=3b相加
==a^2+b^2+2=3(a+b)
==a^2+b^2=3*3-2=7; (2)
因为（1）a+b=3
==（a+b）^2=3^2=9
==a^2+b^2+2ab=9;
== 2ab=9-( a^2+b^2)=9-7=2;
== ab=1;;
所以(1/a^2)+(1/b^2)=（a^2+b^2）/( ab)^2=7/1=7; ##
1、
解：由已知等式得：
(m²-n²)+(m-n)=-m
(m+n)(m-n)+(m-n)=-m
(m+n+1)(m-n)=-m
(m+n+1)(n-m)=m
由于m、n都是正整数，所以由上式知：(n-m)≥1，即：n≥m+1，
所以：m=(m+n+1)(n-m)≥m+n+1，
可得：n+1≤0，显然不成立；
所以满足m(m+2)=n(n+1)的正整数解不存在；
2、
解：同理可得：(m+n+1)(n-m)=(k-1)m，··········①
由于k≥3，所以可得：n-m0，即：nm，n/m1，
则有：n/m=(m+k)/(n+1)1，
所以：m+kn+1，
因此：mnn+1m+k，则mnm+k；
由上可知，从m到m+k之间的正整数有k-1个，
但当k=3时，则：mnm+3，那么有两种情况：n=m+1，n=m+2，分别代入①式，有：
n=m+1时，得到：2m+2=2m，显然这是不成立的；
n=m+2时，得到：2(2m+3)=2m，显然这也是不成立的；
但当k≥4时，由mnm+k知，n的取值是从m+1到m+k-1，即：m+1≤n≤m+k-1，不妨设n=m+b，b代表从1到k-1之间的正整数，代入①式，得：
b(2m+b+1)=(k-1)m
解得：m=(b²+b)/(k-1-2b)，
则k-1-2b≥1，得：b≤(k-2)/2，
所以b的取值范围是：1≤b≤(k-2)/2，
如果取k=4，则1≤b≤1，则有
b=1时，m=2/(3-2)=2，此时n=2+1=3，
由于没有确定的k，所以无法求出本题的通解，但只要是k≥4，就一定存在正整数m、n，使得m(m+k)=n(n+1)成立。
1.那么假设A的坐标是(x1,y1）,C的坐标是（x2,y2）
满足式子：y1=kx1；y1=1/x1；y2=kx2；y2=1/x2
我们可以得到：kx1=1/x1
kx1*x1=1
kx2=1/x2
kx2*x2=1
三角形ABC的面积=三角形OAB的面积加上三角形OBC的面积
三角形OAB的面积=底*高/2=A的纵坐标的绝对值*(A的横坐标的绝对值)/2=x1*y1/2=kx1*x1/2=1/2
三角形OBC的面积=底*高/2=C的纵坐标的绝对值*(C的横坐标的绝对值)/2
=x2*y2/2=kx2*x2/2=1/2
所以三角形ABC的面积为1。
2.这里先把问题进行简化
不妨设ab
我们从题意中可以得到：因为ab=最小公倍数*最大公约数
所以ab可被105整除
先证明a,b均可被3整除
否则的话a，b均不可被3整除，那么其最小公倍数也不可被3整除，与它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍可被3整除矛盾，所以a,b均可被3整除
；同理可以证明a,b均可被5整除。那么此时的问题就简化为
a=15x
b=15y
120=a-b=15*（x-y）
a,b的最大公约数=x,y的最大公约数*15
a,b的最小公倍数=x,y的最小公倍数*15
问题变为：已知正整数x,y之差为8，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么x,y中较大的数是
从这里我们容易看出x=7
y=15;从而有原先的a=225,b=105.
这是一题2001年山东省初中数学竞赛试题
(1)当k=0时，x=-1,方程有有理根
(2)当k不等于0时，因为方程有有理根。
△＝(k-1)^2-4k=(k-3)^2-8
设(k-3)^2-8=t^2 t为正整数即(k-3-t)(k-3+t)=8 左边是两个整数的积,那么只要把8分解因式就可以了 8=2*2*2 所以k-3-t=1,k-3+t=8 或者k-3-t=2,k-3+t=4 然后解这两个方程组,谁有整数解谁就是最后的结果最后k=6
综上所述，kx2-（k-1)x+1=0有有理根时，k=0 或 k=6
这里有答案但没过程.
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