初中数学奥数题10道 有答案 (初三奥数竞赛数学难题和答案)
初中数学奥数题10道 有答案 (初三奥数竞赛数学难题和答案)
1、 两个男孩各骑一辆自行车，从相距2o英里（1英里合1.6093千米）的两个地方，开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时1o英里的等速前进，苍蝇以每小时15英里的等速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少英里？
答案
每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇于2o英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里，因此在1小时中，它总共飞行了15英里。
许多人试图用复杂的方法求解这道题目。他们计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程，然后是返回的路程，依此类推，算出那些越来越短的路程。但这将涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的高等数学。据说，在一次鸡尾酒会上，有人向约翰·冯·诺伊曼（john von neumann, 1903～1957,20世纪最伟大的数学家之一。）提出这个问题，他思索片刻便给出正确答案。提问者显得有点沮丧，他解释说，绝大多数数学家总是忽略能解决这个问题的简单方法，而去采用无穷级数求和的复杂方法。
冯·诺伊曼脸上露出惊奇的神色。“可是，我用的是无穷级数求和的方法.”他解释道
2、 有位渔夫，头戴一顶大草帽，坐在划艇上在一条河中钓鱼。河水的流动速度是每小时3英里，他的划艇以同样的速度顺流而下。“我得向上游划行几英里，”他自言自语道，“这里的鱼儿不愿上钩！”
正当他开始向上游划行的时候，一阵风把他的草帽吹落到船旁的水中。但是，我们这位渔夫并没有注意到他的草帽丢了，仍然向上游划行。直到他划行到船与草帽相距5英里的时候，他才发觉这一点。于是他立即掉转船头，向下游划去，终于追上了他那顶在水中漂流的草帽。
在静水中，渔夫划行的速度总是每小时5英里。在他向上游或下游划行时，一直保持这个速度不变。当然，这并不是他相对于河岸的速度。例如，当他以每小时5英里的速度向上游划行时，河水将以每小时3英里的速度把他向下游拖去，因此，他相对于河岸的速度仅是每小时2英里；当他向下游划行时，他的划行速度与河水的流动速度将共同作用，使得他相对于河岸的速度为每小时8英里。
如果渔夫是在下午2时丢失草帽的，那么他找回草帽是在什么时候？
答案
由于河水的流动速度对划艇和草帽产生同样的影响，所以在求解这道趣题的时候可以对河水的流动速度完全不予考虑。虽然是河水在流动而河岸保持不动，但是我们可以设想是河水完全静止而河岸在移动。就我们所关心的划艇与草帽来说，这种设想和上述情况毫无无差别。
既然渔夫离开草帽后划行了5英里，那么，他当然是又向回划行了5英里，回到草帽那儿。因此，相对于河水来说，他总共划行了10英里。渔夫相对于河水的划行速度为每小时5英里，所以他一定是总共花了2小时划完这10英里。于是，他在下午4时找回了他那顶落水的草帽。
这种情况同计算地球表面上物体的速度和距离的情况相类似。地球虽然旋转着穿越太空，但是这种运动对它表面上的一切物体产生同样的效应，因此对于绝大多数速度和距离的问题，地球的这种运动可以完全不予考虑．
3、 一架飞机从a城飞往b城，然后返回a城。在无风的情况下，它整个往返飞行的平均地速（相对于地面的速度）为每小时100英里。假设沿着从a城到b城的方向笔直地刮着一股持续的大风。如果在飞机往返飞行的整个过程中发动机的速度同往常完全一样，这股风将对飞机往返飞行的平均地速有何影响？
怀特先生论证道：“这股风根本不会影响平均地速。在飞机从a城飞往b城的过程中，大风将加快飞机的速度，但在返回的过程中大风将以相等的数量减缓飞机的速度。”“这似乎言之有理，”布朗先生表示赞同，“但是，假如风速是每小时l00英里。飞机将以每小时200英里的速度从a城飞往b城，但它返回时的速度将是零！飞机根本不能飞回来！”你能解释这似乎矛盾的现象吗？
答案
怀特先生说，这股风在一个方向上给飞机速度的增加量等于在另一个方向上给飞机速度的减少量。这是对的。但是，他说这股风对飞机整个往返飞行的平均地速不发生影响，这就错了。
怀特先生的失误在于：他没有考虑飞机分别在这两种速度下所用的时间。
逆风的回程飞行所用的时间，要比顺风的去程飞行所用的时间长得多。其结果是，地速被减缓了的飞行过程要花费更多的时间，因而往返飞行的平均地速要低于无风时的情况。
风越大，平均地速降低得越厉害。当风速等于或超过飞机的速度时，往返飞行的平均地速变为零，因为飞机不能往回飞了。
4、 《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料。下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一。原题如下： 令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。
问雄、兔各几何？
原书的解法是；设头数是a，足数是b。则b／2－a是兔数，a－（b／2－a）是雉数。这个解法确实是奇妙的。原书在解这个问题时，很可能是采用了方程的方法。
设x为雉数，y为兔数，则有
x＋y＝b， 2x＋4y＝a
解之得
y＝b／2－a，
x＝a－（b／2－a）
根据这组公式很容易得出原题的答案：兔12只，雉22只。
5、我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富。
经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。 每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。
问题：我们该如何定价才能赚最多的钱？
答案：日租金360元。
虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入； 扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元。
当然，所谓“经调查得知”的行情实乃本人杜撰，据此入市，风险自担。
6 数学家维纳的年龄，全题如下： 我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，维纳的年龄是多少? 解答：咋一看，这道题很难，其实不然。设维纳的年龄是x，首先岁数的立方是四位数，这确定了一个范围。10的立方是1000，20的立方是8000，21的立方是9261，是四位数；22的立方是10648；所以10=x=21 x四次方是个六位数,10的四次方是10000，离六位数差远啦，15的四次方是50625还不是六位数，17的四次方是83521也不是六位数。18的四次方是104976是六位数。20的四次方是160000；21的四次方是194481; 综合上述，得18=x=21,那只可能是18，19，20，21四个数中的一个数；因为这两个数刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，四位数和六位数正好用了十个数字，所以四位数和六位数中没有重复数字，现在来一一验证，20的立方是80000，有重复；21的四次方是194481，也有重复；19的四次方是130321；也有重复；18的立方是5832，18的四次方是104976，都没有重复。 所以，维纳的年龄应是18。
7.abcd乘9=dcba
a=? b=? c=? d=?
答案：d=9,a=1,b=0,c=8
1089*9=9801
8、漆上颜色的正方体
设想你有一罐红漆，一罐蓝漆，以及大量同样大小的立方体木块。你打算把这些立方体的每一面漆成单一的红色或单一的蓝色。例如，你会把一块立方体完全漆成红色。第二块，你会决定漆成3面红3面蓝。第三块或许也是3面红3面蓝，但是各面的颜色与第二块相应各面的颜色不完全相同。
按照这种做法，你能漆成多少互不相同的立方体？如果一块立方体经过翻转，它各面的颜色与另一块立方体的相应各面相同，这两块立方体就被认为是相同的。
答案总共漆成10块不同的立方体。
9.老人展转病榻已经几个月了，他想，去见上帝的日子已经不远了，便把孩子们叫到床前，铺开自己一生积蓄的钱财，然后对老大说：
“你拿去100克朗吧！”
当老大从一大堆钱币中，取出100克朗后，父亲又说：
“再拿剩下的十分之一去吧！”
于是，老大照拿了。
轮到老二，父亲说：“你拿去200克朗和剩下的十分之一。”
老三分到300克朗和剩下的十分之一，老四分到400克朗和剩下的十分之一，老五、老六、……都按这样的分法分下去。
在全部财产分尽之后，老人用微弱的声调对儿子们说：“好啦，我可以放心地走了。”
老人去世后，兄弟们各自点数自己的钱数，却发现所有人分得的遗产都相等。
聪明的朋友算一算：这位老人有多少遗产，有几个儿子，每个儿子分得多少遗产。
答案9个儿子，8100克朗财产
10、工资的选择
假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择：
（a） 工资以年薪计，第一年为4000美元以后每年加800美元；
（b） 工资以半年薪计，第一个半年为2000美元，以后每半年增加200美元。
你选择哪一种方案？为什么？
答案：第二种方案要比第一种方案好得多
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a，b 满足（b+2)的绝对值+（2a-4)的绝对值+根号(a-3)b²+4=2a ，则a+b 等于（ ）．
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2
【答】C．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为 ，于是 ，从而 ＝1．
2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）．
（A） （B） （C）1 （D）2
【答】A．
解：因为△BOC ∽ △ABC，所以 ，即
，
所以， ．
由 ，解得 ．
3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次，记第一次掷出的点数为 ，第二次掷出的点数为 ，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
【答】D．
解：当 时，方程组无解．
当 时，方程组的解为
由已知，得 即 或
由 ， 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
共有 5×2＝10种情况；或 共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为 ．
4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB‖DC， . 动点P从点
B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）．
（A）10 （B）16 （C）18 （D）32
【答】B．
解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S△ABC＝ ×8×4＝16.
5．关于x，y的方程 的整数解（x，y）的组数为（ ）．
（A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组
【答】C．
解：可将原方程视为关于 的二次方程，将其变形为
．
由于该方程有整数根，则判别式 ≥ ，且是完全平方数．
由 ≥ ，
解得 ≤ ．于是
0 1 4 9 16
116 109 88 53 4
显然，只有 时， 是完全平方数，符合要求．
当 时，原方程为 ，此时 ；
当y＝－4时，原方程为 ，此时 ．
所以，原方程的整数解为
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．
【答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量为 ,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为 .又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
两式相加，得 ，
则 ．
7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则 的值为 ．
解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ．
由题设知 ， ，在△FHA和△EFA中，
，
所以 Rt△FHA∽Rt△EFA，
.
而 ，所以 .
8．已知 是满足条件 的五个不同的整数，若 是关于x的方程 的整数根，则 的值为 ．
【答】 10．
解：因为 ，且 是五个不同的整数，所有 也是五个不同的整数．
又因为 ，所以
．
由 ，可得 ．
9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为 的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．
【答】 ．
解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且 ．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由 ，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF‖AC，所以
，
即 ，
解得 ．所以 ．
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．
【答】 ．
解：设报3的人心里想的数是 ，则报5的人心里想的数应是 ．
于是报7的人心里想的数是 ，报9的人心里想的数是 ，报1的人心里想的数是 ，报3的人心里想的数是 ．所以
，
解得 ．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．函数 的图象与 轴的两个交点是否都在直线 的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线 的右侧时k的取值范围．
解：不一定，例如，当k＝0时，函数的图象与x轴的交点为（0，0）和
（1，0），不都在直线 的右侧． ………………5分
设函数与x轴的两交点的横坐标为 ，则 ，当
且仅当满足如下条件
………………10分
时，抛物线与 轴的两交点都在直线 的右侧．
由
解之，得 ………………15分
所以当 时，抛物线与 轴的两交点在直线 的右侧．
………………20分
12．在平面直角坐标系 中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数 的图象上所有“好点”的坐标．
解：设 ，m，k都是非负整数，则
，
即 ． ……………10分
则有
解得
所以
故“好点”共有4个，它们的坐标是：
………………20分
13．如图，给定锐角三角形ABC， ，AD，BE是它的两条高，过点 作△ABC的外接圆的切线 ，过点D，E分别作 的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
解法1：结论是 ．下面给出证明． ………………5分
因为 ，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
．
同理可得 ．
………………10分
又因为 ，所以有 ，于是可得
． ………………20分
解法2：结论是 ．下面给出证明．
……………… 5分
连接DE，因为 ，所以A，B，D，E四点共圆，故
． ………………10分
又l是⊙O的过点C的切线，所以 ． ………………15分
所以， ，于是DE‖FG，故DF＝EG．
………………20分
14．n个正整数 满足如下条件： ；
且 中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
解：设 中去掉 后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数 ， ．即 ．
于是，对于任意的1≤ ≤n，都有
，
从而 ． ………………5分
由于 是正整数，故
． ………………10分
由于
≥ ，
所以， ≤2008，于是n ≤45.
结合 ，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令 ，…， ，
，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9. ………………20分
1
电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元？
解：设一张电影票价x元
(x-3)×（1+1/2）=(1+1/5)x
(1+1/5)x这一步是什么意思，为什么这么做
(x-3){现在电影票的单价}×（1+1/2){假如原来观众总数为整体1，则现在的观众人数为（1+2/1)}
左边算式求出了总收入
(1+1/5）x{其实这个算式应该是：1x*（1+5/1） 把原观众人数看成整体1，则原来应收入1x元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*（1+5/1），减缩后得到（1+1/5x）}
如此计算后得到总收入，使方程左右相等
2
甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求 乙的存款
答案
取40％后，存款有
9600×（1－40％）＝5760（元）
这时，乙有：5760÷2＋120＝3000（元）
乙原来有：3000÷（1－40％）＝5000（元）
3
由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？
答案
加10颗奶糖，巧克力占总数的60%，说明此时奶糖占40%，
巧克力是奶糖的60/40=1。5倍
再增加30颗巧克力，巧克力占75%，奶糖占25%，巧克力是奶糖的3倍
增加了3-1.5=1.5倍，说明30颗占1.5倍
奶糖=30/1.5=20颗
巧克力=1.5*20=30颗
奶糖=20-10=10颗
小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给我你的1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？
答案
小明说：“你有球的个数比我少1/4！”，则想成小明的球的个数为4份，则小亮的球的个数为3份
4*1/6＝2/3 （小明要给小亮2/3份玻璃球）
小明还剩：4-2/3＝3又1/3（份）
小亮现有：3+2/3＝3又2/3（份）
这多出来的1/3份对应的量为2，则一份里有：3*2＝6（个）
小明原有4份玻璃球，又知每份玻璃球为6个，则小明原有玻璃球4*6＝24（个）
搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是
答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时
解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4
三人共同搬完，需要
60 × 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）
甲需丙帮助搬运
（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）
乙需丙帮助搬运
（60- 5× 8）÷4= 5（小时）
一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又过了8天,完成了全部工作的5/6,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天?
答案
甲乙丙3人8天完成 :5/6-1/3=1/2
甲乙丙3人每天完成 :1/2÷8=1/16，
甲乙丙3人4天完成 :1/16×4=1/4
则甲做一天后乙做2天要做 :1/3-1/4=1/12
那么乙一天做 :[1/12-1/72×3]/2=1/48
则丙一天做 :1/16-1/72-1/48=1/36
则余下的由丙做要 :[1-5/6]÷1/36=6天
答：还需要6天
股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的1％和2％分别交纳印花税和佣金（通常所说的手续费）。老王10月8日以股票10.65元的价格买进一种科技股票3000股，6月26日以每月13.86元的价格将这些股票全部卖出，老王卖出这种股票一共赚了多少钱？
答案
10.65*1％=0.1065(元) 10.65*2％=0.213(元)
10.1065+0.213=0.3195(元) 0.3195+10.65=10.9695(元)
13.86*1％=0.1386(元) 13.86*2％=0.2772(元)
0.1386+0.2772=0.4158 13.86+0.4158=14.2758(元)
14.2758-10.9695=3.3063(元)
答:老王卖出这种股票一共赚了3.3063元.
某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，很快售完。第二次购书时，每本的批发价比第一次增多了0.5元，用去150元，所购数量比第一次多10本，当这批书售出4/5时出现滞销，便以定价的5折售完剩余图书。试问该老板第二次售书是赔钱还是赚钱，若赔，赔多少，若赚，赚多少
答案
（100+40）/2.8=50本 100/50=2 150/(2+0.5）=60本 60*80%=48本 48*2.8+2.8*50*12-150=1.2 盈利1.2元
一件工程原计划40人做,15天完成.如果要提前3天完成,需要增加多少人
解: 设需要增加x人
(40+x)(15-3)=40*15
x=10
所以需要增加10了
仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物的质量比为2：7.如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的五分之三。仓库原有货物多少吨？
解：第1次运走：2/（2+7）=2/9.
64/（1-2/9-3/5）=360吨。
答：原仓库有360吨货物。
育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是3：5，后来又有60名同学达标，这时达标人数是未达标人数的9/11，育才小学共有学生多少人？
答案
原来达标人数占总人数的
3÷（3＋5）＝3/8
现在达标人数占总人数的
9/11÷（1＋9/11）＝9/20
育才小学共有学生
60÷（9/20－3/8）＝800人
小王，小李，小张三人做数学练习题，小王做的题数的一半等于小李的1/3,等于小张的1/8,而且小张比小王多做了72道,小王,小张,小李各做多少道?
答案
设小王做了a道，小李做了b道，小张做了c道
由题意1/2a=1/3b=1/8c
c-a=72
解得a=24 b=36 c=96
甲乙二人共同完成242个机器零件。甲做一个零件要6分钟，乙做一个零件要5分钟。完成这批零件时，两人各做了多少个零件？
答案
设甲做了X个，则乙做了（242-X）个
6X=5（242-X）
X=110
242-110=132（个）
答：甲做了110个，乙做了132个
某工会男女会员的人数之比是3：2，分为甲乙丙三组，已知甲乙丙三组人数之比是10:8:7，甲组中男女比是3：1，乙组中男女比是5：3。求丙组男女人数之比
答案
设男会员是3N，则女会员是2N，总人是：5N
甲组有：5N*10/[10+8+7]=2N，其中：男：2N*3/4=3N/2，女：2N*1/4=N/2
乙级有：5N*8/25=8/5N，其中男：8/5N*5/8=N，女：8/5N*3/8=3/5N
丙级有：5N*7/25=7/5N
丙级中男有：3N-3N/2-N=N/2，女有：2N-N/2-3/5N=9/10N
那么丙组中男女之比是：N/2：9/10N=5：9
甲乙丙三个村合修一条水渠，修完后，甲乙丙村可灌溉的面积比是8：7：5原来三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力，后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出的劳力由甲乙两村分担，丙村付给甲乙两村工钱1350元，结果，甲村共派出60人，乙村共派出40人，问甲乙两村各应分得工钱多少元？
答案
根据甲乙丙村可灌溉的面积比算出总份数：8+7+5=20份
每份需要的人数：（60+40）÷20=5人
甲村需要的人数：8×5=40人，多出劳力人数：60-40=20人
乙村需要的人数：7×5=35人，多出劳力人数：40-35=5人
丙村需要的人数：5×5=25人 或 20+5=25人
每人应得的钱数：1350÷25=54元
甲村应得的工钱：54×20=1080元
乙村应得的工钱： 54×5=270元
p166
19题
李明的爸爸经营已个水果店，按开始的定价，每买出1千克水果，可获利0.2元。后来李明建议爸爸降价销售，结果降价后每天的销量增加了1倍，每天获利比原来增加了50%。问：每千克水果降价多少元？
答案
设以前卖出X 降价a 那么0.2X * (1+0.5)=(0.2-a) * 2x
则0.1X=2aX a=0.05
.哈利.波特参加数学竞赛，他一共得了68分。评分的标准是：每做对一道得20分，每做错一道倒扣6分。已知他做对题的数量是做错题的两倍，并且所有的题他都做了，请问这套试卷共有多少道题？
解：设哈利波特答对2X题，答错X题
20×2X-6X=68
40X-6X=68
34X=68
X=2
答对：2×2=4题
共有：4+2=6题
爸爸妈妈和奶奶乘飞机去旅行，三人所带行李的质量都超过了可免费携带行李的质量，要另付行李费，三人共付了4元，而三人行李共重150千克，如果这些行李让一个人带，那么除了免费部分，应另付行李费8元，求每人可免费携带行李的质量。
答案
设可免费携带的重量为x kg，则：
（150-3x）/4=(150-x)/8 //等式两边非免费部分单价相同；
解方程：x=30
一队少先队员乘船过河，如果每船坐15人，还剩9人，如果每船坐18人，刚好剩余1只船，求有多少只船？
答案
解法一：
设船数为X，则
（15X+9）/18=X-1
15X+9=18X-18
27=3X
X=9
答：有9只船。
解法二：
(15+9)÷（18-15）=8只船 --每船坐18人时坐了8只船
8+1=9只船
建筑工地有两堆沙子,一堆比2堆多85吨,两堆沙子各用去30吨后,一堆剩的是2堆的2倍,两堆沙子原来各有多少吨?
答案
设2堆为X吨,则一堆为X+85吨
X+85-30=2(X-30)
x=115(2堆)
x+85=115+85=200(1堆)
自然数1-100排列，用长方形框出二行六个数，六个数和为432，问这六个数最小的是几
答案
六个数分别是46 47 48 96 97 98
甲乙两地相距420千米,其中一段路面铺了柏油,另一段是泥土路.一辆汽车从甲地驶到乙地用了8小时,已知在柏油路上行驶的速度是每小时60千米,而在泥土路上的行驶速度是每小时40千米.泥土路长多少千米?
答案
两段路所用时间共8小时。
柏油路时间：（420－x）÷60
泥土路时间： x÷40
7-(x÷60)+(x÷40)=8
有x÷120=1
所以x=120
一少先队中队去野营,炊事员问多少人,中队长答: 一个人一个碗,两个人一只菜碗,三个人一只汤碗,放在你这儿有55只碗,你算算有多少人?
设有x个人
x＋x／2＋x／3＝55
x＝30
学校购买840本图书分给高、中、低三个年级段，高年级段分的是低年级段的2倍，中年级段分的是低年级段的3倍少120本。三个年级段各分得多少本图书？
设低年级段分得x本书，则高年级段分得2x本,中年级段分得（3x-120）本
x+2x+3x-120=840
6x-120=840
6x=840+120
6x=960
x=960/6
x=160
高年级段为：160*2=320( 本) 中年级段为：160*3-120=360(本)
答：低年级段分得图书160本，中年级段分得图书360本，高年级段分得图书320本.
学校田径组原来女生人数占1/3,后来又有6名女生参加进来,这样女生就占田径组总人数的4/9。现在田径组有女生多少人?
解 设 原来田径队男女生一共x人
1/3x+6= 4/9(x+6)
x=30
1/3x+6=30*1/3+6=16
女生16人
小华有连环画本数是小明6倍如果两人各再买2本那么小华所有本数是小明4倍两人原来各有连环画多少本？
解：设小华的有x本书
4(x+2)=6x+2
4x+8=6x+2
x=3
6x=18
小春一家四口人今年的年龄之和为147岁，爷爷比爸爸大38岁，妈妈比小春大27岁，爷爷的年龄是小春与妈妈年龄之和的2倍。小春一家四口人的年龄各是多少？
答案
1
设小春x岁，则妈妈x+27岁，爷爷(x+x+27)*2=4x+54岁，爸爸4x+54-38=4x+16岁
x+x+27+4x+54+4x+16=147,x=5
所以小春5岁，妈妈32岁，爷爷74岁，爸爸36岁。
2
爷爷+爸爸+（妈妈+小春）
=爷爷+（爷爷-38）+（爷爷/2)=147
爷爷=74岁
爸爸=36岁
妈妈+小春=小春+27+小春=74/2=37
小春=5岁
妈妈=5+27=32岁
小春一家四口人的年龄各是74，36，32，5岁
3
(147+38)÷(2×2+1)=37(岁）
36×2＝74（岁） 爷爷的年龄
74－38＝36（岁） 爸爸的年龄
（37+27）÷2＝32（岁） 妈妈的年龄
32－27＝5（岁） 小华的年龄
甲乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的5分之1比乙校参加人数的4分之1少1人，甲乙两校各多少人参赛？
解：设甲校有x人参加，则乙校有（22-x）人参加。
0.2 x=（22-x）×0.25-1
0.2x=5.5-0.25x-1
0.45x=4.5
x=10
22-10=12（人）
答： 甲校有10人参加，乙校有12人参加。
在浓度为40%的盐水中加入千克水,浓度变为30%,再加入多千克盐,浓度变为50%?
答案1
解
设原有盐水x千克，则有盐40％x千克，所以根据关系列出方程：
(40％x)/(x＋1)＝30％ 得出x＝3，再设须加入y千克盐，则有方程：
（1.2＋y）/(4+y)=50%得出y＝1.6
54比45多20％，算法，设所求为x，x（1＋20％）=54 算出结果45
答案2
设原有溶液为x千克，加入y千克盐后，浓度变为50%
由题意，得溶质为40%x，则有
40%x/(x+5)=30%
解之得
x=15千克
则溶质有15*40%=6千克
由题意，得
（6+y）/(15+5+y）=50%
解之得
y=8千克
故再加入8千克盐，浓度变为50%
某人到商店买红蓝两种钢笔，红钢笔定价5元，蓝钢笔定价9元，由于购买量较多，商店给予优惠，红钢笔八五折，蓝钢笔八折，结果此人付的钱比原来节省的18%，已知他买了蓝钢笔30枝，那么。他买了几支红钢笔？
答案
红笔买了x支。
（5x+30×9）×（1-18%)=5x×0.85+30×9×0.8
x=36.
甲说：“我乙丙共有100元。”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有的1/3，丙的钱不变，我们仍有钱100元。”丙说：“我的钱都没有30元。”三人原来各有多少钱？
答案
乙的话表明：甲钱5倍与乙钱2/3一样多
所以，乙钱是3*5=15的倍数，甲钱是偶数
丙钱不足30，所以，甲乙钱和多于70，
而乙多于甲的6倍，
所以，乙多于60
设乙=75，甲=75*2/3÷5=10,丙=100-10-75=15
设乙=90，甲=90*2/3÷5=12,90+12100,不行
所以，三人原来：甲10元，乙75元，丙15元
某厂向银行申请甲乙两种贷款共30万，每年需支付利息4万元,甲种贷款年利率为12%，乙种贷款年利率为14%，该厂申请甲乙两种贷款金额各多少元？
答案
设：甲厂申请贷款金额x万元,则乙厂申请贷款金额（30-x）万元。
列式：x*0.12+(30-x)*0.14=4
化简：4.2-0.02x=4
0.02x=0.2
解得：x=10(万元)
某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价的90%收款。某学校到书店购买甲、乙两种书，其中乙种书的册数是甲种书册数的3/5只有甲种书得到了90%的优惠。其中买甲种书所付的钱数是买乙种书所付钱数的2倍。已知乙种书每本1.5元，那么甲种书每本定价多少元？
答案1
根据题意，
甲种超过了100本，乙种不到100 本
甲乙花的总钱数比为2:1
那么甲打折以前，和乙的总钱数比为：
（2÷0.9）：1=20:9
甲乙册数比为5:3
甲乙单价比为（20÷5）：（9÷3）=4:3
优惠前，甲种每本：1.5×4/3=2元
答案2
答案
设甲买了x本,则乙为3/5x,x100
买乙共付了:3/5x*1.5=0.9x元
则甲共付了:0.9x*2=1.8x元
所以甲优惠后每本为:1.8x/x=1.8元
则优惠前:1.8/0.9=2元
两支成分不同的蜡烛,其中1支以均匀速度燃烧,2小时烧完,另一支可以燃烧3小时,傍晚6时半同时点燃蜡烛，到什么1支剩余部分正好是另一支剩余的2倍？
答案
两支蜡烛分别设为A蜡烛和B蜡烛，其中A蜡烛是那支烧得快点的
A蜡烛，两小时烧完，那么每小时燃烧1/2
B蜡烛，三小时烧完，那么每小时燃烧1/3
设过了x小时以后，B蜡烛剩余的部分是A的两倍
2（1—x/2）=1—x/3
解得x=1.5
由于是6点半开始的，所以到8点的时候刚刚好
学校组织春游，同学们下午1点从学校出发，走了一段平路，爬了一座山后按原路返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平路4Km/小时，爬山3Km/小时，下山为6Km/小时，返回时间为2.5时。问：他们一共行了多少路
答案1
设走的平路是X公里 山路是Y公里
因为1点到七点共用时间6小时 返回为2.5小时 则去时用3.5小时
Y/3-Y/6=1小时
Y=6公里
去时共用3.5小时 则X/4+Y/3=3.5 X=6
所以总路程为2（6+6）=24km
答案2
解：春游共用时：7：00－1：00＝6（小时）
上山用时：6－2.5＝3.5（小时）
上山多用：3.5－2.5＝1（小时）
山路：（6－3）×1÷（3÷6）＝6（千米）
下山用时：6÷6＝1（小时）
平路：（2.5－1）×4＝6（千米）
单程走路：6＋6＝12（千米）
共走路：12×2＝24（千米）
答：他们共走24千米。
1. 有一个分数，分子加3可简约为 ，分子减3可简约为 ，求这个分数。（分数）
2.计算下列式子：（分数巧算）
3.单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？（工程问题1）
4.一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲乙合做，那么多少天可以完成？（工程问题2）
5.小明看一本故事书，第一天看了全书的 少5页，第二天看了全书的 还多3页，还剩206页，这本故事书一共有多少页？（线段图法）
6.师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？（效率问题）
7.某商品按每个7元的利润卖出13个的钱，与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元？（方程）
8. 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？（几何问题1）
9.上图中的圆是以O为圆心、径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。（几何问题2）
10. 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。（概率问题）
11. 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1 盘。问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？（图解法）
12. 现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？
13.在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？（时钟问题）
14.肖健家有一个闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。有一天晚上8点整时，肖健对准了闹钟，他想第二天早晨5点55分起床，于是他就将闹钟的铃定在了5点55分。这个闹钟将在标准时间的什么时刻响铃？（时间问题）
15. 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？（牛吃草问题）
16.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？（补充题）
个分数
数a。
（提示：分子减去a，分母加上a，（约分前分子与分母之和不变，约分后的分子与分母之和变为3+5=8，所以分子、分母约掉了9.）
例6.某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？
例7．张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件。”商店经理算了一下，若减价5％，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元。问：这种商品的成本是多少元？
例8 肖健家有一个闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。有一天晚上8点整时，肖健对准了闹钟，他想第二天早晨5点55分起床，于是他就将闹钟的铃定在了5点55分。这个闹钟将在标准时间的什么时刻响铃？
分析与解：因为这个闹钟走得慢，所以响铃时间肯定在5点55分后面。
，闹钟走595分相当于标准时间的
响铃时是标准时间的6点整。
例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？
分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。
设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。
200－150＝50（份），20—10＝10（天），
说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草
（l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。
现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。
所以，这片草地可供25头牛吃5天。
1.有两列火车,一列长102米,每秒行20米;一列长120米,每秒行17米.两车同向而行,从第一列车追及第二列车到两车离开需要几秒?
2.某人步行的速度为每秒2米.一列火车从后面开来,超过他用了10秒.已知火车长90米.求火车的速度.
3.现有两列火车同时同方向齐头行进,行12秒后快车超过慢车.快车每秒行18米,慢车每秒行10米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车,求两列火车的车身长.
4.一列火车通过440米的桥需要40秒,以同样的速度穿过310米的隧道需要30秒.这列火车的速度和车身长各是多少?
5.小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒.已知两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?
6.一列火车通过530米的桥需要40秒,以同样的速度穿过380米的山洞需要30秒.求这列火车的速度与车身长各是多少米.
7.两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,以相同的速度相对而行.一列火车开来,全列车从甲身边开过用了10秒.3分后,乙遇到火车,全列火车从乙身边开过只用了9秒.火车离开乙多少时间后两人相遇?
七、（本题满分7分）
23．已知：关于x的方程 有两个实数根 ，关于y的方程 有两个实数根 ，且 。当 时，求m的取值范围。
八、（本题满分8分）
24．已知：AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。
（1）求证：CD是半圆O的切线（图1）；
（2）作EF⊥AB于点F（图2），猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
（3）在上述条件下，过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（图3），求∠EOC的正切值。
图1
图2
图3
23．解：∵关于x的方程 有两个实数根x1和x2
解得 ①
∵关于y的方程 有两个实数根
解得0≤n≤4
由根与系数的关系得
整理，得
由二次函数 的图象可得
当 ②
由①、②得m的取值范围是
八、
24．（1）证明：如图1，连结OD，则OD为半圆O的半径
图1
∵OC为半圆M的直径
∴∠CDO=90°
∴CD是半圆O的切线。
（2）猜想： 。
证法三：如图，连结OD、ME，OD、ME相交于点H
∵CE平分∠DCB
∴ ∴ME⊥OD，OH
∵EF⊥CO ∴∠MFE=∠MHO=90°
∵∠EMF=∠OMH，ME=MO
∴△MEF≌△MOH
∴EF=OH ∴
（3）解：如图3，延长OE交CD于点K
图3
设OF=x，EF=y，则OA=2y
∵NE//CB，EF⊥CB，NA切半圆O于点A
∴四边形AFEN是矩形
∴
同（2）证法一，得E是OK的中点
∴N是CK的中点
∴Rt△CEF∽Rt△EOF
∴
∴
解得
∴tan∠EOC=3
25．（1）解：∵抛物线 与x轴交于A、B两点
∴关于x的方程 有两个不相等的实数根
解得
∵点A在点B的左边，且m0，∴A（－m，0），B（2m，0）
解法二：如图2，过点O作OG//AC交BE于点G
图2
∴△CED∽△OGD ∴
∵DC=DO ∴CE=OG
∵OG//AC ∴△BOG∽△BAE ∴
∵OB=2m，AB=3m ∴
（3）解法一：如图3
图3
∵点C在抛物线上（与点A不重合），C、A两点到y轴的距离相等
∴C（m，2m2）
过点E作DC边上的高EP，过点A作OC边上的高AQ
∴EP//AQ
∴△CEP∽△CAQ
∴
∵
∴
解得m=2
∴抛物线的解析式为
点C的坐标为（2，8），点B的坐标为（4，0）
分别过点D、C作x轴的垂线，交x轴于点M、N
∴DM//CN
∵D是OC的中点
∴
∴D点的坐标为（1，4）
设直线BE的解析式为
∴直线BE的解析式为
解法二：如图4，连结OE
图4
∵D是OC的中点
∴
以下同（3）解法一
23．如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
24．已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。
25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
23．解：（1）FE与FD之间的数量关系为FE＝FD。
（2）答：（1）中的结论FE＝FD仍然成立。
证法一：如下图，在AC上截取AG＝AE，连结FG
因为∠1＝∠2，AF为公共边
可证△AEF≌△AGF
所以 ∠AFE＝∠AFG，FE＝FG
由∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线
可得∠2＋∠3＝60°
所以∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°
所以∠CFG＝60°
由∠3＝∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD
所以FG＝FD
所以FE＝FD
24．解：（1）根据题意，c＝3
所以
解得
所以 抛物线解析式为
（2）依题意可得OA的三等分点分别为（0，1），（0，2）
设直线CD的解析式为
当点D的坐标为（0，1）时，直线CD的解析式为
当点D的坐标为（0，2）时，直线CD的解析式为
（3）如图，由题意，可得
点M关于x轴的对称点为
点A关于抛物线对称轴 的对称点为A'（6，3）
连结A'M'
根据轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求
点P运动的最短总路径的长
所以A'M'与x轴的交点为所求E点，与直线x＝3的交点为所求F点。
可求得直线A'M'的解析式为
可得E点坐标为（2，0），F点坐标为（3， ）
由勾股定理可求出
所以点P运动的最短总路径（ME＋EF＋FA）的长为 。
25．解：（1）略。
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长。
已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD
且∠AOD＝60°
求证：BC＋AD≥AC
证明：过点D作DF‖AC，在DF上截取DE，使DE＝AC
连结CE、BE
故∠EDO＝60°，四边形ACED是平行四边形
所以△BDE是等边三角形，CE＝AD
所以DE＝BE＝AC
①当BC与CE不在同一条直线上时（如下图）
在△BCE中，有BC＋CE＞BE
所以BC＋AD＞AC
②当BC与CE在同一条直线上时（如下图）
则BC＋CE＝BE
因此 BC＋AD＝AC
综合①、②，得 BC＋AD≥AC。
即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长。
23. 如图，已知
（1）请你在 边上分别取两点 、 （ 的中点除
外），连结 、 ，写出使此图中只存在两对面
积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的
三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，
证明 .
23. 如图，已知
（1）请你在 边上分别取两点 、 （ 的中点除
外），连结 、 ，写出使此图中只存在两对面
积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的
三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，
证明 .
解：
（1）相应的条件是： BD = CE ≠ DE ；
两对面积相等的三角形分别是： △ABD和△ACE，△ABE和△ACD .
证法2：如图，分别过点A、E作CB、CA的平行线，两线交于F点，EF与AB交于G点，连结BF. 则四边形FECA是平行四边形，所以 FE = AC，AF = CE.
因为 BD = CE
所以 BD = AF
所以 四边形FBDA是平行四边形
所以 FB = AD
在△AGE中，AG + EG ＞AE
在△BFG中，BG + FG ＞FB
可推得 AG + EG + BG + FG ＞AE + FB
所以 AB + AC ＞AD + AE
24. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过 ， 两点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为 ，将直线 沿 轴向下平移两个单位得到直线 ，直线 与抛物线的对称轴交于 点，求直线 的解析式；
（3）在（2）的条件下，求到直线 、 、 距离相等的点的坐标.
解：（1）由题意可得
故抛物线的解析式为： .
（2）由 可知抛物线的顶点坐标为B（ ），故C（ ），且直线 过原点. 设直线 的解析式为 ，则有 . 故直线 的解析式为 .
（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个.
由勾股定理可知OB=OC=BC=2，故△OBC为等边三角形，四边形ABCO是菱形，且∠BCO=60°，连接AC交x轴于一点M，易证点M到OB、OC、BC的距离相等. 由点A在∠BCO的平分线上，故它到BC、CO的距离相等均为 ，
同时不难计算出点A到OB的距离为 ，故点A也算其中一个. 同理，不难想到向左、向下可以分别作与ABCO全等的菱形（如图所示，其中△OBC为新菱形的一半），此时必然存在两个点，使得它到直线OB、OC、BC的距离相等.
此四个点的坐标分别为：M（ ）、A（0，2）、（0，-2）、（ ）.
25. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在 中，点 、 分别在 、 上，设 、 相交于 ，若 ， ，请你写出图中一个与 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在 中，如果 是不等于60º的锐角，点 、 分别在 、 上，且 ，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.
解：
（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可.
（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）
四边形DBCE是等对边四边形.
（3）此时存在等对边四边形DBCE.
证明1：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD的延长线于F点.
∵∠DCB=∠EBC= ∠A，BC为公共边
∴△BGC≌△CFB
∴BF=CG
∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A
∠GEC=∠ABE+∠A
∴△BDF≌△CEG
∴BD=CE
故四边形DBCE是等对边四边形.
证明2：如图，在BE上取一点F，使得BF=CD，连接CF.
易证△BCD≌△CBF，故BD=CF，∠FCB=∠DBC.
∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A
∠CEF=∠ABE+∠A
∴CF=CE
∴BF=CE
故四边形DBCE是等对边四边形.
一只老虎发现离它10m远的地方有一个兔子，马上扑了过去，老虎跑7步的距离兔子要跑11步，但兔子的步子密，老虎跑3步的时间兔子能跑4步。问：老虎是否能追上兔子？如何追上，要跑多远的路？
（11×3）：（7×4）=33：28. 老虎能追上兔子。
设老虎跑x米的路
x：(x-10)=33:28
解得x=66
答 ：老虎跑66米追上兔子。
某市剧院举行文艺演出，价格是：一等席300元／人，二等席200元／人，三等席150元／人，某印务公司组织员工36人去观看，计划购买2种席票，共用去5850元，你能设计几种购票方案供印务公司选择？请说明理由
一等30，二等20，三等15，共用585元，两种席票，共36人
由上能看出，必须有三等15元的席票且人数为奇数，设有X人
其他的36-X人
方案1：15X+20(36-X)=585
X=27人，二等席票9人
方案2：15X+30(36-X)=585
X=33人，一等票3张
甲车长0.12千米，速度为60千米／时；乙车长0.13千米，两车同向而行，当乙车的车头追上甲车的车尾后，又经过3分钟乙车的车尾离开甲车头，求乙车的速度
乙车速度为X，
过3分钟甲车运行60*3/60=3千米
此时3分钟内乙车运行距离=3+0.12+0.13=3.25千米
乙车速度X=3.25/（3/60）=65千米/小时0|评论
检举|2013-01-31 22:00热心网友1.一个两位数，十位数字是x，各位数字是x－1，把十位数字与各位数字对调后，所得到的两位数是什么？
2.小小的妈妈带m元钱上街买菜，她买肉用去了二分之一，买蔬菜用去了剩下的三分之一，那么她还剩多少元？
相关答案：
第一题:11X-10
第二题:M-m/2-m/2/3=1/3M 元
如下图,第100行的第5个数是几?
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17........
答案是4955
由图的左边最外层1 2 4 7 11 16 得后面的数总是比前面的数大，
而且第2个比第1个大1．．．．第3个比第4个大2．．．．第4个比第3个大3．．第5个比第第4个大4．．．．第6个比第5个大5．．．．．．．．．．所以可以设左边最外层中第n个数为x 则x等于〔1加2加3加……加〈n—1〉〕．．．．．．．所以第100行的第1个数为〔1加2加3加……加〈100—1〉〕等于4951
所以第100行第5个数为4955
一、计算1+3+5+7+…+1997+1999的值。
二、若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值。
三、已知
1 2 3
--- + --- + --- = 0 ①
x y z
1 6 5
--- - --- - --- =0 ②
x y z
x y z
试求 --- + --- + --- 的值
y z x
四、在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面任意添上一个“+”或“-”那么最后计算出来的结果是奇数还是偶数？
五、某校初中一年级举行数学竞赛，参加的认识是未参加人数的3倍，如果该年级减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加人数之比是
2：1 求参加竞赛的与未参加竞赛的认识以及初中一年级的人数
答案:一题:
原式＝（1+1999）*[（1999-1）/2+1]/2
＝2000*1000 /2
＝1000000
二题:
2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,则
4-5X≥0,1-3X≤0
所以:1/3≤X≤4/5
原式=2X+4-5X+3X-1+4=7
三题:
由②得:1/X=6/Y+5/Z代入 ①得
8/Y+8/Z=0
所以:Y=-Z代入1/X=6/Y+5/Z得:
1/X=1/Y
所以:X=Y
X/Y+Y/Z+Z/X=1-1-1=-1
四题:
在1，2，3，…，1998中,共有999个奇数,999个偶数,
无论二个偶数间的加减,其结果都是偶数,所以只考虑奇数间的关系.
因为任意二个奇数间的加减,其结果都是偶数,
所以,最后都是一个奇数和一个偶数间的加减,
所以,最后计算出来的结果是奇数.
五题:
设:未参加竞赛的人数为X,则参加竞赛的人数为3X,全校总人数为4X
如果该年级减少6人,则总人数为4X-6
未参加的学生增加6人,则未参加的人数为X+6,
参加的人数为4X-6-(X+6)=3X-12
参加与未参加人数之比是2：1
所以:3X-12=2*(X+6)
解之得:X=24(人),参加竞赛的人数为3X=72人,全校总人数为4X=96人追问七年级奥数题 再难一点 多一点 25个 谢谢参考资料：用百度搜 初一数学奥数题
例1.已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD是高
求证：DC=AB+BD
分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。
可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC=AE。
∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠EAC=∠C
辅助线是在DC上取DE=DB，连结AE。
分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。
仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。
为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BF=AB，连结AF，则可得
∠ABD=2∠F=2∠C。
例2.已知：△ABC中，两条高AD和BE相交于H，两条边BC和AC的中垂线相交于O，垂足是M，N
求证：AH=2MO， BH=2NO
证明一：(加倍法――作出OM，ON的2倍)
连结并延长CO到G使OG=CO连结AG，BG
则BG∥OM，BG=2MO，AG∥ON，AG=2NO
∴四边形AGBH是平行四边形，
∴AH=BG=2MO，BH=AG=2NO
证明二：(折半法――作出AH，BH的一半)
分别取AH，BH的中点F，G连结FG，MN
则FG=MN=
AB，FG∥MN∥AB
又∵OM∥AD，
∴∠OMN=∠HGF(两边分别平行的两锐角相等)
同理∠ONM=∠HFG∴△OMN≌△HFG……
例3.
已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CE=AD+AE，F是AB的中点
求证：∠DCE=2∠BCF
分析：本题显然应着重考虑如何发挥CE=AD+AE条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。
我们可将AE(它的等量DG)加在正方形边CD的延长线上(如左图)也可以把正方形的边CD(它的等量AG)加在AE的延长线上(如右图)后一种想法更容易些。
辅助线如图，证明(略)自己完成
例4.已知：△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于I，
求证：∠BIC=90
+
∠A
证明一：(由左到右)
∠BIC=180
-(∠1+∠2)=180
-
(∠ABC+∠ACB)
=180
-
(∠ABC+∠ACB+∠A)+
∠A
=90
+
∠A
证明二：(左边-右边=0)
∠BIC-(90
+
∠A)
=180
-
(∠ABC+∠ACB)-90
-
∠A
=90
-
(∠ABC+∠ACB+∠A)=……
证明三：(从已知的等式出发，进行恒等变形)
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180
∴∠A=180
-(∠ABC+∠ACB)
∠A=90
-
(∠ABC+∠ACB)
90
+
∠A=180
-
(∠ABC+∠ACB)，即∠BIC=90
+
∠A
