图灵机的核心贡献是什么 (图灵密码学贡献)
图灵机的核心贡献是什么 (图灵密码学贡献)
图灵提出的著名的图灵机模型为现代计算绝弯机的逻辑工作方式奠定了基础。
图灵机它相当于通用计算机地解释程序，这一点直接促进了后来通用计算机的设计和研制工作，在给出通用图灵机的同时。
图灵就指出，通用图灵机在计算时，其“机械性地复杂性”是有临界限度地，超过这一限度，就要靠增加程序的长度和存贮量来解决.这种思想开启了后来计算机科学中计算复杂性理论的先河。
图灵恢复在理论计算机科学方面的研究，并结合战时的工作，具体研制出新地计算机来。同年，图灵开始从事“自动计算机”的逻辑设计和具体研制工作，制出了样机。
扩展资料
图并弊闷灵机的意义：
1、它证明了通用计算理论，肯定了计算机实现的可能性，同时它给出了计算机应有的主要架构。
用类似有限状态机的原理（注意仅是类似，因为图灵机的功能远超过了有限状态机）定义了“有限次运算”，并用图灵机运算过程定义了“可行的过程”并将之重新命名为“算法”（algorithm）。这便是如今计算机体系结构以及程序算法设计最开始萌芽的地方。
2、图灵机模型引入了读写与算法与程序语言的概念，极大的突破了过去的计算机器的设计理念。
算法是一个古老的数学概念，算法事实上是解题的系统步骤。艾伦・图灵在1936年提出的“图灵机”概念,是一般算法的典型代表。
其目的是为了解决“希尔伯特第十问题”———数学问题的一般算法步骤问题,也就是在原则上是否存在一般数学问题的解题步骤的判决问题。希尔伯特的规划是要把数学置于无懈可击的牢固的基础上,其中的公理和步骤法则一旦确立就不再改变。他想一劳永逸地解决数学的可靠性问题。
3、图灵机模型理论是计算学科最核心的理论，因为计算机的极限计算能力就卜旁是通用图灵机的计算能力，很多问题可以转化到图灵机这个简单的模型来考虑。
通用图灵机等于向我们展示这样一个过程：程序和其输入可以先保存到存储带上，图灵机就按程序一步一步运行直到给出结果，结果也保存在存储带上。另外，我们也可以看到现代计算机主要构成（冯.诺依曼结构），存储器，中央处理器，IO系统。
参考资料来源：
百度百科——图灵机
作者 贾寒蕻
我的丰功伟绩值得浇铸于青铜器上，铭刻于大理石上，镌于木板上，永世长存。等我的事迹在世上流传之时，幸福之时代和幸福之世纪亦即到来。这段出自文学大师塞万提斯在名著《唐吉可德》中的话，我觉得最能反映图灵一生对人类的贡献。
在这个互联网和大数据大行其道的时代，我们要感谢计算机之父图灵。图灵是一个不完美的人，却是一个伟大的科学家。图灵在破解德国法西斯的王牌密码英格玛上做出了巨大的贡献，2015年，在纪念世界反法西斯胜利及中国抗日战争胜利七十周年之际，我们更应该向图灵致敬。
因为图灵，英格玛密码不在是天方夜谭；因为图灵，一千四百万人远离战争的蚕食；因为图灵，使战争缩短了两年；同样因为图灵，他的发现让人工智能曙光初现，让全人类受益；因为图灵，我们少受日寇铁蹄的践踏。他是二战中隐于幕后的英雄，他是大英帝国勋章获得者，他是丘吉尔认为二战中最伟大的人物。今天，型镇绝我用他生产的机器赞美他的人生。
关于苹果公司的标志，最有名的一种说法，这个商标的设计源于图灵自杀的时候，咬了一口的苹果。我第一次知道图灵是在我们高中的英语书上，对于图灵的最直接的认识，来自于电影《模仿游戏》。我上高中的时候，很迷恋BBC拍摄的《神探夏洛克》，这成为我高中记忆的一部分。主演夏洛克·福尔摩斯的本尼迪克特·康伯巴奇是我的偶像，我到现在都没有记住这个名字，所以下文中就用他的最影响的网络名字卷福来代替他。今年举行的第八十七届奥斯卡颁奖礼，卷福带着自己的《模仿游戏》获得了最佳男演员的提名，但最终败给了英国老乡 埃迪·雷德梅恩 的《万物理论》。这两位饰演了英国历史上卓尔不群的两位大家，霍金和图灵。霍金是一个被宣判死刑的人，在外界的帮助下，凭借着自己的毅力和才华，战胜了不可能。（2018年3月14日去世）
图灵是一个学富五车兼才高八斗的人，在科学世界中，他是才辩无双的数学家，出类拔萃的逻辑学家，大智若愚的计算机之父，世界马拉松纪录保持者。在现实生活中，他孤寂，冷漠，口吃。图灵生在一个科学世家，但是他的父亲朱利叶斯·图灵才能平平，是一位民政部的官员，祖父的基因隔代遗传了给了艾伦·图灵。六岁的他对于数字就产生了兴趣，八岁的图灵就着手写书，图灵的家庭是典型的英国中产阶级家庭，所以图灵的形象就应该是《唐顿庄园》里那些绅士，衣着不凡而且考究，风度翩翩且谦和有礼。但实际上图灵是一个非常邋遢的人，具体表现为咬指甲，不打领带。图灵一直被过敏性鼻炎困扰，遇到花粉就打喷嚏不止，图灵怎么解决这个问题？他骑着自行车，带着防毒面具呼啸而过。
社会经济发达带来的好处就是社会开放，在一个守旧的社会，图灵过度鹤立鸡群显得非常格格不入。在当时英国中产阶级的认知中，科学是一门非常不入流的学问，在种种偏见的挤压下，孤独成为了图灵生活的主旋律。图灵的科学研究能够继续下去很大的原因取决于他开明的父母的支持。是不是一个好父母的标准之一就是能够理解甚至支持自己孩子的梦想，就像我现在能坐在这里的写文章，跟我父母理解支持甚至是帮助离不开的。图灵一生中最辉煌的时刻就是二战中帮助英国军队破获德国军队的王牌密码，他的出现让一千四百万人远离战争的蚕食，他的出现让战争缩短了两年，他是二战中隐于幕后的英雄，正所谓成也萧何败也萧何，他在这场战争收获荣誉，收获爱情，却也失去了一切。
文科生写旅余图灵这种物理学家有一个硬伤就是物理常识的欠缺，我只知道这种密码很厉害，但是我说不出来这种密码如何厉害。为了破解这种密码，英国政府成立了一个破译小组，这件事情吸引了图灵，图灵参加破译小组，不仅仅是为了保家卫国，而且也是为了满足自己的好奇心。图灵不善于与别人沟通，在刚来到破译小组的时候，其他同伴们采用一种方法可以破译简单的德国情报，他对于这项研究嗤之以鼻，甚至不客气的说：“坏了的钟一天还可以再对两次”。在破译小组，他经常不按常理出牌，他辞掉两个破译小组成员的时候，临走的时候告诉他们：“你们是最平凡的研究人员。”研究经费一次申请就是十万英镑，这笔钱在战乱中的英国是很大的一笔钱，如果事情就这样发展下去，那么图灵的才华就会淹没在和其他队员的争吵之中，一个女人的出现改变了事情的走向。
琼·克拉克与图灵在一次数学考试中相识，琼拥有超人的数学天赋，但是因为当时的性别歧视，她无法施展自己的抱负。为卜姿了琼，图灵第一次结结巴巴说起了谎话，琼告诉图灵，你是一个天才，但是为了你的理想，你必须和别人工作。在琼的帮助下，图灵给组里的同事买了苹果，讲起了笑话，还请所有人喝酒。这些举动改变了破译小组所有人的关系，他们不再相互敌视，他们携起手来攻克难关。更大的风波来临，图灵被怀疑是苏联间谍，然而组里的成员为图灵辩护，让情报机关放了图灵。这件事情过后，图灵和这些争锋相对的同事成为了休戚与共的朋友，在大家的精诚团结之下，图灵研究的机器开始动了。
图灵患有口吃，再加上从小到大一直遭受排挤，所以他变得不爱与人交往，虽然他有让人羡慕的才华，但是研究英格玛密码几个月中始终没有成果。有才的人容易变得曲高和寡，图灵的事情证明，一个曲高和寡的人是没有办法成功的。图灵的故事让我想起了已故的苹果总裁斯蒂文·乔布斯，在认识自己的妻子劳伦之前，乔布斯是一个自私，偏执的人，劳伦改变了乔布斯，让乔布斯的事业更上一层楼。如果图灵和琼长长久久的在一起，图灵的事业也会顺风顺水的发展下去。但是图灵有着天然的缺陷，他有同性恋倾向，
他的初恋是同学克里斯托弗，在图灵上中学的日子中，他因为被同学欺负而过的惶惶不可终日的时候，是克里斯托弗拯救了他。然而克里斯托弗在十七岁的时候因为肺结核而离开人世，对于他的思念已经深深印入了图灵的心里。图灵发明的机器名字都叫做克里斯托弗。不知是因为同性恋的身份可耻，还是因为怕对不起琼，图灵和琼最后分道扬镳。在西方这些信仰基督教的国家中，认为这种没有结果的爱是有罪过的，在二十世纪，欧洲很多国家认定同性恋行为犯法。英国著名作家兼同性恋者奥斯卡·王尔德就因此获罪，并锒铛入狱。一九五二年图灵的一位同性恋人伙同他人盗窃了图灵的家，图灵报警之后，警方查出来图灵的行为，当时给了他两个选择，一个是入狱，另一个接受化学阉割。出于对图灵的喜爱，我看了很多关于图灵的文章，有一篇文章从法律方面研究到，图灵当时最好的选择就是入狱，一方面他不用遭受化学用品带给他的伤害，化学阉割就是使用激素改变同性恋倾向，另一方面，在外面的一些知名人士会救他出来的。一九五四年，在图灵自杀当年，英国通过了关于同性恋的《沃芳顿报告》，这个报告的出台者就是沃芳顿爵士，值得一提的就是沃芳顿爵士本人就是反同性恋者。《沃芳顿报告》指出：同性恋不是一种病以及“任何成年人之间，在相互允许情况下，私下进行的同性恋活动不应被认为是犯罪”。图灵会被缩减刑期，甚至被释放，但是漫长的岁月留给图灵仍旧是一种折磨，没有克里斯托弗的二十三年之间，破解英格玛密码带给了他充实。但盛世之后只剩迷惘，琼给了他爱，但是由于自己本身的缺陷，无福享受。图灵找来了克里斯托弗的替代品，但是那些平庸之辈如何触碰他的理想，只是觉得图灵有钱，可以敲他的竹杠，当图灵看到自己不断颤抖的双手，以及慢慢出现的女性特征，以及高处不胜寒的孤独，他选择了一条不归路。当时他眼前浮现的是，德国投降之后，情报机关告诉他们所有资料，所有记录，所有仪器都要被销毁，也许他们几个人永远不会再见面，他想到一个月的期限即将来到，破译不出密码的几个人垂头丧气来到小酒馆喝酒，因为其他同事的一句玩笑话而醍醐灌顶，困扰两年的难题迎刃而解，破译小组的所有人放下往日的矜持，互相跳着抱着，他会想到，密码虽然破译了，但是从战略角度考虑，他们必须牺牲一部分士兵，而这些士兵的亲戚，朋友有可能就是破译小组的成员，他们必须放下所有的爱，想到与他朝夕相处的同事就是克格勃，自己成为了苏联与英国政治博弈的筹码，想到自己每天都要做计算题，计算哪个部分的士兵应该牺牲，哪个部分的士兵应该被保留。
饰演艾伦·图灵的卷福是图灵的十七代表亲，卷福所就读的英国曼彻斯特大学就请图灵担任过实验室的主任。从二零零九开始，英国的社科界发起了为图灵平反的运动，二零一二年，包括霍金在内的英国诺贝尔医学奖得主，英国皇家学会会长等十一人联名上书首相卡梅伦，要求为图灵平反。二零一三年，在英国司法部长的要求下，女王向图灵颁发了皇家赦免，这段公案划上了句号，卷福在演完图灵之后，说过这样一句话：真正能赦免图灵只有他自己。图灵受到的伤害是一个特殊时期的耻辱，但是图灵是懦弱的，他没有选择顺逆境而上，而是在苦难来临的时候，选择了低头。我在查资料的时候，发现了这样的一句话，历史亏欠那么多人，图灵算老几。
2015年是中国抗日战争及世界反法西斯战争胜利七十周年，电视里铺天盖地全是谍战剧，每当我看到他们英勇杀敌，巧妙周旋并且四两拨千斤的智慧，看到他们妻离子散的痛苦和经历严刑拷打的不屈之后，总使我感概万千，他们在信仰的坚持下，为了民族和国家利益，奉献出了自己的生命，奉献自己的幸福，让我们取得了抗日战争及世界反法西斯战争的胜利，换来了我们的安宁和幸福。但是也有一些人让我想到他们解放以后，本身应该获得属于自己的荣誉和享受安宁的生活，但后半生却颠沛流离，不得善终，跟他们英雄的身份不相符，我很为他们的遭遇感到遗憾。其实对于英雄的不公正待遇，不止发生在我们国家，在世界范围也常有这种事情的发生。比如说世界上有名的大特工佐尔格，他在日本政府中八面玲珑，最后身份暴露，苏联政府也没有给他更多的礼遇。我国著名的战略情报专家阎宝航，他拿到了德国即将全面进攻苏联的情报，获取了关东军在东北的战略部署，他是一个社交能力能力出色，大智大勇，也同样是一个忠魂可泣鬼神，英灵不朽照后人的人，死后的待遇是不留骨灰，前半生的光辉带来了后半生的磨难，是一件不平的事情，但是即便如此，很多人也没有放弃的自己的信念，我们党也有很多优秀的女特工，著名就是黄慕兰，沈安娜。她们的遭遇比图灵要悲惨很多，但是他们不轻言赴死，也不轻言放弃，要比图灵高尚伟大得多。
太史公司马迁在《报任安书》中最著名的一句话，就是人固有一死，或轻于鸿毛，或重于泰山，司马迁遭遇了比图灵还要耻辱的事情，在众人的奚落声中艰难的活着，终于写出了“史家之绝唱，无韵之离骚”的史记，由此他获得千千万万的赞美。
我们应该倡导图灵对于科学的献身精神，但应该摈弃他对于失败的做法。图灵不及霍金勇敢，缺少了涅磐重生的勇气，图灵不及乔布斯的幸运，缺少了人生中最重要的导师。故事的最后，琼看到了日薄西山的图灵，告诉他，我今天在街上看到的所有人都是被你拯救的，歌颂了他的伟大。图灵的故事让我想起了一个话题，向图灵这样剑走偏锋的人才，社会应该给他一个宽容的适合他发挥才能的环境，昭示我们的社会重视这个问题。
我在想，将来有一天，我有了孩子，他会在一些领域有所建树，那我该如何平衡他性格与成长，是应该让他专注于他的事业，还是应该接受正常的教育，我如何支撑他的梦想。我希望社会的进步可以让每一个人有一个的健康的成长环境。最后，再一次向对于推动全人类进步的科学家图灵致敬。
2015年9月
阿兰-图灵（Alan Turing）英国数学家、逻辑学家，被称为计算机之销和喊父，人工智能之父。1931年图灵进入剑桥大学国王学院，毕业后到美国普林斯顿大学攻读博士学位，二战爆发后回到剑桥，后曾协助军方破解德国的著名密码系统Enigma，帮助盟军取得了二战的胜利。图灵对于人工智能的发展有诸多贡献，提出了一种用于判定机器是否具有智能的试验方法，即图灵试验，至今，每年都有试验的比赛。此外，图灵提出的著名的图灵机模型为现代计算机的逻辑工作方式奠定了基础。
1912年6月23日，出生于英国伦敦。
1931年-1934年，在英国剑桥大学国王学院（King’s College）学习。
1932年-1935年，主要研究量子力学、概率论和逻辑学。
1935年，年仅23岁的图灵，被选为剑桥大学国王学院院士。
1936年，主要研究可计算理论，并提出“图灵机”的构想。
1936年-1938年，主要在美国普林斯顿大学做博士研究，涉及逻辑学、代数和数论等领域。
1938-1939年，返回剑桥从事研究工作，并应邀加入英国政府破译二战德军密码的工作。
1940年-1942年，作为主要参与者和贡献者之一，在破译纳粹德国通讯密码的工作上成就杰出，并成功破译了棚好德军U-潜艇密码，为扭转二战盟军的大西洋战场战局立下汗马功劳。
1943年-1945年，担任英美密码破译部门的总顾问。
1945年，应邀在英国国家物理实验室从事计算机理论研究工作。
1946年，这个时候，图灵在计算机和程序设计原始理论上的构思和成果，已经确定了他的理论开创者的地位。由于图灵的杰出贡献，年轻的他被英国皇室授予OBE爵士勋衔。
1947年-1948年，主要从事计算机程序理论的研究，并同时在神经网络和人工智能领域做出开创性的理论研究。
1948年，应邀加入英国曼彻斯特大学从事研究工作，担任曼彻斯特大学计算实验室副主任。
1949年，成为世界上第一位把计算机实际用于数学研究的科学家。
1950年，发表论文“计算机器与智能”，为后来的人工智能科学提供了开创性的构思。提出著名的“图灵测试”理论。
1951年，从事生物的非线性理论研究。年仅39岁的图林，被选为英国皇家学会会员。
1952年，在当年保守愚昧和冷战的时代，当警察得知图灵与同性朋友密切交往的消息之后，同性亏野恋倾向的图灵被逮捕入狱。在法庭审判过程中，图灵明确告知人们，他认为自己没有做错什么事。在那个观念落后的年代，为了避免被判刑入狱，图灵被迫选择了为期一年的雌性激素注射的所谓“治疗”，才得以重新返回研究工作。
1953年-1954年，继续在生物和物理学等方面的研究。被迫承受的对同性恋倾向的“治疗”，致使原本热爱体育运动的图灵在身心上受到极大的伤害。
1954年6月7日，图灵被发现死于家中的床上。死因是氰化物中毒，警方调查结论是自杀。一代英灵，就此过早离去，成为人类科学史上的一大遗憾。
1936年11月30日出版的《伦敦数学学会会刊》，有一篇标题看来平平无奇的文章︰〈论可计算数及其在判定问题上的一个应用〉，作者是图灵。
2012年，图灵诞生100周年，学界将该年订为「图灵年」，举办活动以纪念其重大贡献。2014年电影《链尺察模仿游戏》也讲述了图灵于二战时协助破解德军密码的故事（虽然忽略了波兰数学家的贡献），相信不少人对图灵的名字、贡献及其因同性恋倾向被迫害的经历略有所闻。
图灵的众多贡献当中，最为重要的正是1936年这份论文，因为在文中他首次提出「图灵机」这个概念——文中他称为a-机器，a代表「自动」（automatic）——为现代计算机、计算机科学及计算理论奠下数学基础。
当然，除图灵以外，他之前及之后均有不少人对计算机发展贡献良多。不过在这篇文章，让我们先看一看他的「图灵机」为何如此重要。
数学基础
一切源自一个貌似非常奇特、与计算机毫不相干的问题︰我们如何确定数学知识可靠？
19世纪，数学发展越来越抽象，因此亦出现了各种公理系统——公理是指被视作「不证自明」的命题，数学家以公理为基础，再用逻辑推论出不同数学定理。但到了20世纪初，有批数学家（以及关心数学的哲学家）开始担心数学知识不够稳固，他们想确保由特定公理出发时，不会推论出现矛盾——假如有矛盾的话，数学就完了。
他们不是杞人忧天，当时集合论中出现了数个悖论（指一种导致矛盾的命题），或许会导致数学出现矛盾。幸运的话，有些悖论可以透过引入新概念去解决，例如自数学界出现「极限」的严格定义后，甚少人会认为「阿基利斯永远无法追上乌龟」的芝诺悖论是个问题。
那个时候这批数学家大概分成三派，其中一派是数学家
主导的「形式主义」。简略来说，形式主义者希望藉由把数学还原成纯粹符号的形式系统，再用（有限制的）数学去证明这个系统不会出现「0=1」之类的矛盾句，从而确保数学不会产生矛盾。
罗素及怀海德三大册《数学原理》，则是从逻辑主义出发，尝试以逻辑公理推导出整个数学系统——他们想的是，既然逻辑不可能自相矛盾，只要证明数学是由逻辑延伸出来，就可以确保数学一致。
两人终告失败（原因并非本文重点），不过书中改良自弗雷格（Gottlob Frege）的逻辑系统，促进了数理逻辑发展。其后逻辑学家整理出一套现称为「一阶逻辑」的系统，包含若干逻辑公理和推导规则，由此出发可以推导出不少已知的逻辑定理，是个很好用的系统。
判定问题
回到希尔伯特，他想完全将数学化约成一个仅有符号的形式系统（这方面罗素及怀海德贡献了不少），只要按照规则，完全不懂数学、不知道符号意义的人也可以推演出「数学定理」，这样就可以撇除人为错误（例如受直觉误导）。
他又希望找到一套清晰的判定程序，去确认如何判断一个逻辑公式是否属于逻辑系统的定理，假如成功，下一个目标自然是判断数学命题是否数学定理——这样数学家就不用再苦苦思索那些悬而未决的数学猜想，只要一起运行这个「判定程序」，就可以获得答案，简单直接。
不过，希尔伯特于1928年提出的这个「判定问题」，在1935至1936年期间，分别由数学家邱奇及图灵先后得出答案︰不可能。
要解决判定问题，首先需要厘清一个概念︰何谓「清晰的判定程序」？当然，有一些条件非常明显，例如程序必须是有限的——仅包含有限条规则、能够在有限时间完成。程序当中的规则也必须极之简单，以符合希尔伯特的要求。
举个例，假如我要教一位小学生判定一个数字以否质数，可以利用他懂得「整数」、「除数」、「余数」和「比较大小」等概念，去让他按照程序执行，然后他就会发现7是质数、8不是质数、9不是质数…
但希尔伯特所要求的还要更少——执行规则的人只能够辨认符号（不会把不同的符号混淆）、抄写符号、按照规则把符号串转换等，甚至不懂「加减乘除」等基本数学棚茄运算，也不会知道数学符号的意思。
图灵机
终于回到图灵的论文，在〈论可计算数〉中他设想以下一部机器，包含以下部份︰
·一条纸带，这条纸带分成一格一格的（好吧听起来的确有点像厕困唤所卫生纸），每格可以印一个符号。第一格的编号为0，然后是1、2、3…没有尽头，以 表示空格。
·可以在纸带上左右移动的读写头，它每次能够读取所处位置那一格的内容（同一时间只可读取一格），亦可以改变其内容——改写其他符号或变成空格。
·会存在机器目前状态（state）的状态缓存器，每部机器的可能状态数目有限，其中一个称为「开始状态」，就是机器一开始时所处的状态。
·储存所有规则的指令集，机器会根据其目前状态以及读写头当时读取的方格内容来执行指令，进行下一步动作。
上述4个部份当中，决定机器如何运作的是指令集及状态。为方便说明，以下机器的状态以颜色表示，而符号只有0、1及（空格）。图灵把指令限制在这个形式︰
·当处于A状态并读取到符号X时，写入符号Y，移动读写头，并转至B状态。
以下是一些例子︰
·当处于红色状态并读取到符号0时，写入符号1，读写头左移一格，并转至蓝色状态。
·当处于黄色状态并读取到符号1时，写入符号1（即维持原状），读写头留在原处，并维持在红色状态。
·当处于蓝色状态并读取到符号0时，清除符号（变成空格），读写头右移一格，并转至黄色状态。
如果没有适用的指令时，这部设想中的机器——后世称为图灵机——就会停止运作。
一个图灵机模型
不同图灵机分别，在于它们拥有不同的可能状态以及指令集——事实上，我们只需要看一部图灵机的指令集，就知道它可以有甚么状态，因此可以说，图灵机的指令集（以及一开始时纸带上的内容）决定了它如何运作。
这些看似非常简陋的图灵机其实可以做非常多事情，图灵在论文中举了两个图灵机作例子︰一个可以在纸带上不断印出「01010101….」，另一个可以印出「001011011101111...」。事实上，我们也能设计出会进行加法、减法、乘法、除法、比较两个数字大小…的图灵机（在图灵机中，数字可用符号「1」的数量来表示，例如用「111」代表3、「1111111」代表7，数字与数字之间则用符号「0」去分隔）。
通用图灵机
图灵的〈论可计算数〉没有在此打住，正如上文所述，一部图灵机的指令集可以抽述了它如何运作，因此图灵就想到把图灵机（的指令集）编码，换言之，用不同的数字就可以表述不同的图灵机——就这样，每个图灵机都获得一个标准编号。
下一步，图灵构造了一部特别的图灵机，称为「通用图灵机」。通用图灵机可以「扮演」不同的图灵机——只要输入某部图灵机M的标准编号，它就可以像M一样印出相同的符号序列。
如果上面的句子太过抽象，不妨换个（灵异一点的）说法︰有了通用图灵机以后，理论上我们不再需要制造其他图灵机——因为其他图灵机都可以由「硬件」变成「软件」，「附上」通用图灵机来运作。
对，那就是为何我们打开手机、计算机上的计算数件，便能够使用计算器的功能——现代计算机某程度上是一部通用图灵机（当然，计算机没有无限长的纸带）。通用图灵机成为现代计算机的理论模型，图灵这篇论文也奠定了计算机科学、可计算性理论等学科的基础。
当然，由纸上理论代为现实，中间还有一大段历史发展，图灵亦有参与，在此先行略过。（停机问题也是〈论可计算〉的重要结果，篇幅所限同样略过。）
邱奇—图灵论题
在图灵之前，数学家——特别是关心数理逻辑的数学家——已经在思考如何严格定义「机械程序」或者「算法」，因为缺乏这个定义的话，界定「形式系统」时会出现一个问题︰怎样的符号变换规则可以接受？
哥德尔（Kurt Gdel）在1931年证明其著名的不完备定理时，引入了（原始）递归函数的概念，以便从数学角度讨论形式系统，其后他跟英年早逝的埃尔布朗（Jacques Herbrand）将之发展成广义递归函数。但要直到图灵的论文面世后，哥德尔才认为人们能「精确及毫无疑问充足」地定义形式系统。
文首提到比图灵稍早解决判定问题的邱奇，在他1936年的论文中使用了λ演算（λ-calculus）去地义何谓「λ可计算函数」。而对于任何（以自然数为定义域的）函数f(x)，如果存在一部可以顺序印出f(0), f(1), f(2)…的图灵机，那么这个函数就称为「图灵可计算函数」。
邱奇和图灵证明了这三种函数——广义递归函数、λ可计算函数及图灵可计算函数——等价，换言之，虽然它们有非常不同的定义，但实际上还是一样。〈论可计算数〉发表以后，也有各种计算模型出现，但没有一个能够超越图灵机——它们所定义的函数，都是可以用图灵机（或λ演算、广义递归函数）去定义。
邱奇及图灵认为，任何可以计算的函数，都是λ可计算／图灵可计算函数，这称为「邱奇—图灵论题」。他们把「可以计算的函数」这个直观概念，跟数学上有严格定义的「λ可计算／图灵可计算函数」划上等号，由于论题涉及直观概念，本身无法以数学证明。
根据理论计算机科学这80年来的发展，邱奇—图灵论题几乎无人质疑︰即使计算机速度突飞猛进，能够完成各种以往无法想象的任务，现实中我们仍然未能找到一个超越图灵机的计算模型（理论上倒有一些，但不包括现时的量子计算机模型）。
未来发展会怎样？不知道，可能他日人工智能的数学家、逻辑学家会发现到一个超越图灵机的计算模型——而我们无法理解？或者明天就有人发现了？（当然我认为这不可能。）
没有〈论可计算数〉，我们也许还有「计算机」可用，但那些「计算机」应会截然不同，发展也慢得多。在图灵机面世80年后，我只想介绍一下这个对人类历史有深刻影响的故事。
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